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同调

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数学上(特别是代数拓扑抽象代数),同调 (homology,在希腊语homos = 同)是一类将一个可换群或者序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者)联系起来的过程。背景知识请参看同调论

对于一个特定的拓扑空间,同调群通常比同伦群要容易计算得多,因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造

其过程如下:给定对象,首先定义链复形,它包含了的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模的序列,群同态满足任何两个相连的同态的复合为0: 对于所有成立。这意味着第个映射的包含在第个映射的中,我们定义阶同调群商群(商模)

链复形称为正合的,如果()阶映射的像总是等于阶映射的核。因此的同调群是衡量所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。

非正式的例子

非正式地,拓扑空间X的同调是X拓扑不变量的集合,用其同调群来表示

其中第个同调群描绘了中的维圈 (cycle),实现为维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈,也即点,实现成一维圆盘,也即线段的边界的障碍,因此刻画了中的道路连通分支。[1]

圆,或称为1维球面

一维球面 是一个。它有一个连通分支和一个一维圈,但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出

其中表示整数加群,表示平凡群表示的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群,其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。[2]

2维球面即球的球壳,不包括球的内部。

二维球面有一个连通分支,零个一维圈,一个二维圈(即球面),无更高维的圈,其对应的同调群为[2]

一般地,对维球面,其同调群为

实心圆盘,即2维球

二维实心有一个道路连通分支,但与圆不同的是,没有一维或更高维的圈,其对应的同调群除了零阶同调群以外,其余阶的同调群均为平凡群。

环面

环面被定义为两个圆笛卡尔积。环面有一个道路连通分支,两个独立的一维圈(在图中以红圈和蓝圈分别标出),以及一个二维圈(环面的内部)。其对应的同调群为[3]

两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元,表示为笛卡尔积群.


例子

引入同调的概念可以用单纯复形单纯同调:设中的维可定向单纯形生成的自由交换群或者模,映射映射称为边缘映射 (boundary map),它将维单纯形

映射为如下交错和

,其中表示限制在对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上,则阶同调的维数就是维圈的个数。

仿照单纯同调群,可以定义任何拓扑空间的奇异同调群。我们定义的上同调的链复形中的空间为为自由交换群(或者自由模),其生成元为所有从单纯形连续函数。同态从单纯形的边缘映射得到。

同调代数中,同调用于定义导出函子,例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子和某个模开始。的链复形定义如下:首先找到一个自由模和一个同态。然后找到一个自由模和一个满同态。以该方式继续,得到一个自由模和同态的序列。将函子应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调仅依赖于,并且按定义就是作用于n阶导出函子。

同调函子

链复形构成一个范畴:从链复形到链复形的态射是一个同态的序列,满足对于所有成立。阶同调 可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子

若链复形以协变的方式依赖于对象(也就是任何态射诱导出一个从的链复形到的链复形的态射),则是从所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于,因此其同调群(在这个情况下称为上同调群并记为)构成从所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质

是链复形,满足出有限个外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义欧拉示性数

(可换群采用而向量空间的情况采用哈默尔维数)。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:

特别地,在代数拓扑中,欧拉示性数是拓扑空间的重要不变量。

此外,每个链复形的短正合序列

诱导一个同调群的长正合序列

这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出,除了映射之外。后者称为连接同态,由蛇引理给出。

参看

參考文獻

  1. ^ Spanier 1966,第155頁
  2. ^ 2.0 2.1 Gowers 2010,第390–391頁
  3. ^ Hatcher 2002,第106頁