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逆矩陣

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線性代數
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逆矩陣(inverse matrix),又稱乘法反方陣反矩陣。在線性代數中,給定一個n方陣,若存在一n 階方陣,使得,其中n單位矩陣,則稱可逆的,且逆矩陣,記作

只有方陣(n×n 的矩陣)才可能有逆矩陣。若方陣的逆矩陣存在,則稱非奇異方陣或可逆方陣。

行列式類似,逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

求法

伴隨矩陣法

如果矩陣可逆,則其中伴隨矩陣行列式

注意:中元素的排列特點是的第元素是的第元素的代數餘子式。要求得即為求解餘因子矩陣轉置矩陣

初等轉換法

如果矩陣互逆,則。由條件以及矩陣乘法的定義可知,矩陣都是方陣。再由條件以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知,這兩個矩陣的行列式都不為。也就是說,這兩個矩陣的秩等於它們的級數(或稱為階,也就是說,A與B都是方陣,且換而言之, 均為滿矩陣)。換句話說,這兩個矩陣可以只經由初等行轉換,或者只經由初等列轉換,變為單位矩陣。

因為對矩陣施以初等行轉換(初等列轉換)就相當於在的左邊(右邊)乘以相應的初等矩陣,所以我們可以同時對施以相同的初等行轉換(初等列轉換)。這樣,當矩陣被變為時,就被變為的逆陣

性質

  1. 為A的轉置
  2. (det為行列式

廣義逆陣

廣義逆陣(Generalized inverse)又稱偽逆,是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指摩爾-彭若斯廣義逆,它是由E·H·摩爾羅傑·潘洛斯分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小平方問題中有重要應用。

參見