在數學中,假設在一個集合
上定義一個等價關係(用
來表示),則
中的某個元素
的等價類就是在
中等價於
的所有元素所形成的子集:
。
等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造新集合。在
中的給定等價關係
的所有等價類的集合表示為
並叫做
除以
的商集。這種運算可以(實際上非常不正式的)被認為是輸入集合除以等價關係的活動,所以名字「商」和這種記法都是模仿的除法。商集類似於除法的一個方面是,如果
是有限的並且等價類都是等勢的,則
的序是
的序除以一個等價類的序的商。商集被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合
。
對於任何等價關係,都有從
到
的一個規範投影映射
,給出為
。這個映射總是滿射的。在
有某種額外結構的情況下,考慮保持這個結構的等價關係,接著稱這個結構是良好定義的,而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇的物件;從
到
的映射則是在這個範疇內的滿態射。參見同餘關係。
例子
- 如果
是轎車的集合,而
是「顏色相同」的等價類,則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。
自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
- 考慮在整數集合
上的「模
」 ﹝見同餘﹞等價關係:
若且唯若
是偶數。這個關係精確的引發兩個等價類:
由所有偶數組成,
由所有奇數組成。在這個關係下
和
都表示
的同一個元素。
- 有理數可以構造為整數的有序對
的等價類的集合,
不能為零,這裡的等價關係定義為
若且唯若
。
- 這裡的有序對
的等價類可以被認同於有理數
。
- 任何函數
定義在X上的等價關係,通過
若且唯若
。
的等價類是在
中被映射到
的所有元素的集合,就是說,類
是
的逆像。這個等價關係叫做
的核。
- 給定群
和子群
,我們可以定義在
上的等價關係,通過
若且唯若
。這個等價類叫做H在G中的右陪集;其中之一是
自身。它們都有同樣數目的元素(在無限
的情況下是勢)。如果
是正規子群,則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
- 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
- 連續映射
的同倫類是所有同倫於
的所有映射的等價類。
- 在自然語言處理中,等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如,在句子「"GE股東將投票公司傑出的CEO Jack Welch的繼任者」。「GE」和「公司」是同義的,所以構成一個等價類。對「GE股東」和「Jack Welch」有單獨的等價類。
性質
因為等價關係的
在
中和任何兩個等價類要麼相等要麼不相交的性質。得出X的所有等價類的集合形成
的劃分:所有
的元素屬於一且唯一的等價類。反過來,
的所有劃分也定義了在
上等價關係。
它還得出等價關係的性質
若且唯若
。
如果
是在
上的等價關係,而
是
的元素的一個性質,使得只要
為真如果
為真,則性質
被稱為良好定義的或在關係
下「類恆定」的。常見特殊情況出現在
是從
到另一個集合
的時候;如果
蘊涵
則
被稱為在
下恆定的類,或簡單稱為在
下恆定。這出現在有限群的特徵理論中。對函數
的後者情況可以被表達為交換三角關係.參見不變量。
參見