熱核

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一維熱方程的基本解（紅線）

熱核（英語：heat kernel）在數學中是指熱方程的基本解。其也是拉普拉斯算子譜分析中的重要工具之一。對於固定邊界的區域，當邊界溫度給定、並於t = 0時在其中某一點放置一單位熱能時，熱核表示此後區域內溫度的變化過程。

最常見的熱核為d維歐幾里得空間R^d上的熱核。該熱核為隨時間變化的高斯函數，其表達式為

$K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{d/2}}}e^{-|x-y|^{2}/4t}\,$

該熱核是熱方程

${\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\,$

的解，其中t > 0，x,y ∈ R^d，Δ則表示拉普拉斯算子。方程的初始條件為

$\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)$

其中δ表示狄拉克δ函數。對任一緊支撐的光滑函數φ，有

$\lim _{t\to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).$

對於R^d上的一般區域，熱核並沒有顯式的表達式。當區域為圓盤或方形時，熱核則分別為貝索函數與雅可比Θ函數。可以證明，對任意黎曼流形，當邊界條件充分正則時，熱核存在且在t>0時光滑。

參考文獻

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