海盜賽局

霍華德·派爾書中的海盜

海盜賽局（英語：Pirate game），或強盜分金問題是一個簡單的數學賽局。該賽局描述了如果遵循經濟人的行為，結果可能與常人的直覺相悖。這也是最後通牒賽局的多參與者版本。

賽局

有五個理性的海盜，A, B, C, D和E，找到了100個金幣，需要想辦法分配金幣。

海盜們有嚴格的等級制度：A比B職位高，B比C高，C比D高，D比E高。

海盜世界的分配原則是：等級最高的海盜提出一種分配方案。所有的海盜投票決定是否接受分配，包括提議人。並且在票數相同的情況下，提議人有決定權。如果提議通過，那麼海盜們按照提議分配金幣。如果沒有通過，那麼提議人將被扔出船外，然後由下一個最高職位的海盜提出新的分配方案。

海盜們基於三個因素來做決定。首先，要能存活下來。其次，自己得到的利益最大化。最後，在所有其他條件相同的情況下，優先選擇把別人扔出船外。

結果

直覺上認為，A海盜會給自己分配很少，以避免被扔出船外。然而這和理論結果相差甚遠。

讓我們反過來看：如果只剩下D和E，D給自己100個金幣，給E 0個。因為D有決定權，所以分配達成。

如果剩下三個人（C，D和E），C知道D下輪會給E 0個金幣，所以C這輪給E 1個金幣，讓E支持自己以使得提議通過。因此如果剩下三個人，結果是C：99，D：0，E：1。

如果B, C, D 和 E 剩下， B 知道上述結果。所以為了避免被扔出去，他只需要給D 1個金幣，因為他有決定權，只需要D的支持就足夠了。因此他會提議 B：99， C：0， D：1，E：0。有人可能想到提議B：99， C：0， D：0，E：1，因為E知道即使把B扔出去，也不會得到更多了。但由於海盜會優先把別人扔出去，所以E會選擇殺死B，然後仍然可以從C的提議中得到相同金幣。（若要讓E同意他，就至少要給他2個金幣才行，這樣並不划算，因為這樣B自己只能得到98金幣，所以不用浪費金幣給E）

假設A知道所有的一切，他就能選擇讓C和E來支持他，提議變成：

• A: 98金幣
• B: 0金幣
• C: 1金幣
• D: 0金幣
• E: 1金幣

同樣的 A：98，B：0，C：0，D：1，E：1 或者其他的提議都不是最好的，因為D會選擇把A扔出去，然後從B那裡得到相同的金幣。（若要讓D同意他，就至少要給他2個金幣才行，這樣並不划算，因為這樣A自己只能得到97金幣，所以不用浪費金幣給D）

延伸

該賽局能很容易延伸到200個海盜（如果有更多金幣，甚至可以更多）。艾恩·史都華在1999年5月期的《科學美國人》中，將該賽局延伸到任意人數的海盜，得到十分有趣的結果。

設共有N個海盜，等級最低的海盜為1號，其次為2號，依此類推，等級最高的是N號，若N ≤ 200，則N號海盜的分配法為：自己$\left\lfloor {\frac {202-N}{2}}\right\rfloor$個金幣，其餘海盜中，編號和N的奇偶性相同者每人各1枚金幣，奇偶性不同的，什麼也得不到。

201號海盜必須要有101票才能通過，他沒有辦法，只能自己不拿金幣，而給1~199號中奇數號的海盜每人各1枚金幣，這樣他以及1~199號中的奇數號會投贊成票，這樣就剛好101票，提案即可通過。

202號與201號類似，自己不拿金幣，而給2~200號中的偶數號每人各1枚。

到了203號，情況第一次有了一百八十度的大轉彎，因為他需要102票，但是他沒有足夠的金幣去收買101人，無法通過。

204號則較幸運，因為203號知道他唯有支持204號才能保命，所以204號可以給1~199號中奇數號的海盜每人各1枚金幣，因為他知道，203號雖然一無所獲但還是會投贊成票，再加上自己一票以及1~199號中奇數號的100票，就達成了102票的條件，所以他的提案就可以通過。

205號就沒那麼走運了，他不能指望203號與204號支持他，所以沒法通過。

206號也是一樣，因為他需要103票才能通過，所以就算205號會支持他，還是差1票。

207號則需要104票，但是他最多也只能得到103票（他自己、205號和206號、以及1~200號中的100人），所以也不能通過。

208號則又時來運轉，他可以給2~200號中的偶數號每人各1枚，這樣他們會同意他，同時他自己跟205, 206, 207號也會投贊成票，剛好104票可通過。

此時，我們繼續分析，可以得到一個新的序列：201, 202, 204, 208, 216, 232, 264, 328, 456, 712, 1224, ... ，這些編號的海盜能夠存活，他們依次要分給1~200中的奇數、偶數、奇數、偶數、奇數、偶數、 ...號每人各1枚金幣。所以當有1500位海盜時，前276名等級最高的海盜必死無疑。輪到1224號海盜時，他可以只分給1~199號中奇數號的海盜每人各1枚金幣，而其餘的海盜什麼也得不到。

結論

一般地，對於任意給定的金幣 G, 海盜數目 N。上文中等級不高於 (2 * G) 的海盜都有存活機會；但對於等級高於 (2 * G) 的海盜，只有編號 (N - 2 * G) 為 2 的整數次冪的那些海盜有存活機會，其餘海盜必死無疑。第 N 號海盜只需給編號在 (2*G) 以內跟他/她相同奇偶性的海盜分配 1 枚金幣即可，其餘金幣都歸他/她自己，但編號大於 (2*G) 的海盜分不到金幣。利用計算機編程很容易驗證這一結論。