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泊松回歸

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統計學上,泊松回歸(英語:Poisson regression)是用來為計數資料英語Count data列聯表建模的一種回歸分析。泊松回歸假設因變量(英語:response variable)Y是泊松分布,並假設它期望值對數可由一組未知參數進行線性表達。當其用於列聯表分析時,泊松回歸模型也被稱作對數-線性模型。

泊松回歸模型是廣義線性模型(GLM)的一種,以對數變化作為連接函數(link function),該模型的假設之一是其被解釋變量服從泊松分布。

泊松回歸模型

代表由一組相互獨立的變量組成的向量,其泊松回歸的模型形式為:

.

亦可簡潔表示為:

此處, 是 n+1維的向量,由n個獨立變量(自變量向量)一個常向量(元素取值全為1)構成,用一個θ 代表第一個表達式當中的 αβ

因此,當已知泊松回歸模型當中的 θ和解釋變量 , 其滿足泊松分布的被解釋變量的期望值可以由下式來預測:

Yi 是被解釋變量的觀測值,相應的解釋變量為 xi ,可由極大似然估計(MLE)的方法來估計參數θ。 極大似然估計不能通過解析表達式獲得解析解,是由其對數似然函數為凸函數的特性,可通過Newton–Raphson或其他基於梯度下降的思想方法來進行參數估計。

極大似然估計

如上所述,已知泊松回歸模型當中的 θ和解釋變量 , 其回歸表達式為:

,

泊松分布的概率密度函數為:

現已知解釋變量的觀測值為由 m個向量組成 , 對應 m 個被解釋變量的觀測值,. 若同時已知θ, 則該組觀測值所對應的聯合概率可由下式表達:



極大似然方法估計 θ的核心思想是,去找到能使得基於當前觀測值的聯合概率儘可能達到最大的θ。(可理解為:變量的取值當前觀測值,與取值為其他任何數值相比,是發生概率最高的事件)。 既然目標是尋找到最優的θ,可以先將上式的等號左邊簡單表達為關於θ 的表達式:


.


注意等號右邊的表達式並未改寫,但通常難於付諸計算,因而採用其對數變化後的表達式( log-likelihood)即:


.


由於 θ 僅出現在似然函數的前兩項,因而在極大化似然函數的運算過程中,可以只考慮前兩項。可以刪去第三項yi!,待優化的似然函數可以簡潔表達為:


.


為了找到極大值,需要求解方程:


可以通過對其似然函數取負值 (negative log-likelihood), 是一個凸函數, 標準的凸優化方法可以考慮來求解 θ的最優值。統一的方法是Newton-Raphson 與Iterative Weighted Least Square(IWLS)算法。 給θ一組初始值,IWLS 是通過多次迭代更新直到θ 收斂。

泊松回歸的應用

泊松回歸常用於被解釋變量為計數(Count)形式時,包括事件發生的次數,比如:客服中心接到的電話次數。其滿足相互獨立的假設。在此例子中,即為:撥打客服電話的人們之間不存在相互關聯。不會因為甲撥打了客服,而影響乙撥打的可能性。但在建模時,需要考慮統計該事件發生的時期,比如目標變量統計的是一天接到的電話次數,還是一個星期,或者一個月。這個時期的數據作為回歸模型中的抵消值,在下面解釋。

"曝光量"(Exposure) 與 偏移量 (trade off)

泊松分布也可以適用於比率數據,即事件發生次數與其測量時間或測量範圍的比值。比如生物學家測量某森林中樹木種類的數目, 比率變量即為每平方千米的樹木種類數。人口學家關注的是每個人口年(person-year)的人口死亡數。通常來說,比率變量表達的是單位時間內該事件發生的次數。這些例子中,平方米」,「人口年」這些變量就是所謂的"曝光量"(Exposure)。泊松回歸中將其視為偏移量放在等式右邊。

which implies

在R中運行廣義線性模型時,可用offset()來指定表示「曝光量」的變量:

glm(y ~ offset(log(exposure)) + x, family=poisson(link=log) )

過度離勢和零膨脹

服從泊松分布的變量,具有期望與方差相等的特徵。若觀測樣本的方差遠大於期望值的時,則認為存在過度離勢,當前的模型不合理。其常見的原因是缺失重要的解釋變量。解決該問題的方法,通常採用准似然估計quasi-likelihood) 或者負二項分布來估計。[1][2]

泊松回歸的另一個常見的問題是零膨脹zero-inflated model。標準的泊松分布其定義域為非負整數,被解釋變量y取值為0的概率為:

但如果觀測樣本中添加大量的0,則取值為0的頻率遠大於理論概率,此時不適宜直接採用泊松回歸。比如觀測一組人在一小時內的吸菸情況,目標變量是每人吸了多少根煙。但當觀測人群中有大量的非吸菸者,就會有過多的目標變量為0, 這就是零膨脹。可以採用其他的廣義線性模型,比如負二項分布負二項分布來建模,或者零膨脹模型zero-inflated model 來解決。

參考文獻

  1. ^ Paternoster R, Brame R. Multiple routes to delinquency? A test of developmental and general theories of crime. Criminology. 1997, 35: 45–84. doi:10.1111/j.1745-9125.1997.tb00870.x. 
  2. ^ Berk R, MacDonald J. Overdispersion and Poisson regression (PDF). Journal of Quantitative Criminology. 2008, 24 (3): 269–284. doi:10.1007/s10940-008-9048-4. (原始內容 (PDF)存檔於2011-04-09).