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柄分解

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數學中,m-流形M柄分解(handle decomposition)是並

其中都由附加一個i-(handle)而來。柄分解之於流形就像CW分解之於拓撲空間—在很多方面,柄分解的目的是得到一種適用於光滑流形情形的類CW復形的語言。因此,i-柄就是i-胞腔的光滑類似物。流形的柄分解是從莫爾斯理論自然產生的。並結構的修改與瑟夫理論密切相關。

附著了3個1-柄的3-球。

動機

考慮n-球的標準CW分解,其中有一個零胞腔與一個n-胞腔。從光滑流形的角度來看,這是球面的退化分解,因為沒有自然方法從分解的角度來看的光滑結構—尤其是0-胞腔附近的光滑結構取決於特徵映射的鄰域中的行為。

CW分解的問題在於,胞腔的附著映射不屬於流形間的光滑映射。管狀鄰域定理是糾正這一缺陷的萌芽。給定流形M中的點p,其閉管狀鄰域微分同胚於,因此我們將M分解為沿的共同邊界膠合的不交並。這裡的關鍵問題是,膠合映射是微分同胚映射。同樣,取中的光滑嵌入弧,其管狀鄰域微分同胚於。這樣就可以把M寫成三個流形的並,沿它們一部分邊界膠合:1) 2) 3) 中弧的開管狀鄰域的補。注意所有膠合映射都是光滑的,特別是將膠合至時,等價關係由中的嵌入生成,根據管狀鄰域定理它是光滑的。

柄分解是史蒂芬·斯梅爾的發明。[1]他的最初表述中,j-柄附著到m-流形M的過程假定有的光滑嵌入。令,流形(即M沿f並上一個j-柄)是指M的不交並,與其在中的像相等,即 其中等價關係生成,

M的並具有有限多個j-柄,且微分同胚於流形N,則稱N來自在M上附著j-柄。則柄分解的定義與概述中相同。於是,若流形微分同胚於球的不交並,則流形的柄分解將只有0-柄。連通流形只含有兩種柄(即0-柄與j-柄,其中j為定值),也稱作柄體

術語

M並上j-柄時,

稱作被附著球面(attaching sphere)。

f有時也稱作被附著球面的框架(framing),因為它將其法叢平凡化

是柄中的帶球(belt sphere)。

gk-柄附著到圓盤所得的流形是虧格為g(m,k)-柄體

配邊演示

配邊W的柄演示中有,且有漸進並 其中Mm維的,Wm+1維的,微分同胚於來自附著以i-柄。若說柄分解之於流形好比胞腔分解之於拓撲空間,擇配邊的柄演示之於有界流形就好比相關胞腔分解之於空間對。

莫爾斯理論觀點

給定緊無界流形M上的莫爾斯函數,使f臨界點滿足,並有

微分同胚於,其中是臨界點的指標,是黑塞矩陣為負定的切空間的最大子空間的維度。

令指標滿足,則這是M的柄分解;由於流形上必有這樣的莫爾斯函數,所以它們都有柄分解。相似地,給定配邊W滿足、函數,其在內部是莫爾斯的,在邊界為常數,且滿足指標遞增,則配邊W有誘導柄演示。

fM上的莫爾斯函數,則-f也是莫爾斯函數。相應的柄分解/演示稱作對偶分解

主要定理與觀察

  • 閉有向3-流形的希加德分裂將3-流形分解為兩(3,1)-柄體沿共同邊界之並,公共邊界稱作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好幾種自然的產生方式:給定3-流形的柄分解,0、1-柄之交是(3,1)-柄體,3、2-柄的並也是(3,1)-柄體(從對偶分解的角度來看),於是是希加德分裂。若3-流形有三角化T,則有誘導希加德分裂,其中第一個(3,1)-柄體是1-骨架(skeleton)的正則鄰域,其他(3,1)-柄體是對偶1-骨架的正則鄰域。
  • 相繼附著兩個柄時,有可能切換附著的階,使得,即此流形微分同胚於形式為的流形。
  • 的邊界與沿有框架球f的邊界是微分同胚。這是割補、柄與莫爾斯函數之間的主要聯繫。
  • 因此,若且唯若可通過對中的有框架連結(framed link)集進行割補,得到m維流形M時,Mm+1維流形W的邊界。舉例,由從René Thom關於配邊的研究,我們知道每個3-流形都是某4-流形的邊界(相似地,有向、有旋的3-流形分別是有向、有旋的4-流形的邊界)。於是,3-流形都可從3-球中有框架連結的割補得到。在有向情形,常規做法是將這種有框架連結簡化為圓的不交並的有框架嵌入。
  • h-配邊定理通過簡化光滑流形的柄分解證明。

另見

參考文獻

注釋

  1. ^ S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math. , 84 (1962) pp. 387–399

通用文獻

  • A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992).
  • Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6