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柄分解

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数学中,m-流形M柄分解(handle decomposition)是并

其中都由附加一个i-(handle)而来。柄分解之于流形就像CW分解之于拓扑空间—在很多方面,柄分解的目的是得到一种适用于光滑流形情形的类CW复形的语言。因此,i-柄就是i-胞腔的光滑类似物。流形的柄分解是从莫尔斯理论自然产生的。并结构的修改与瑟夫理论密切相关。

附着了3个1-柄的3-球。

动机

考虑n-球的标准CW分解,其中有一个零胞腔与一个n-胞腔。从光滑流形的角度来看,这是球面的退化分解,因为没有自然方法从分解的角度来看的光滑结构—尤其是0-胞腔附近的光滑结构取决于特征映射的邻域中的行为。

CW分解的问题在于,胞腔的附着映射不属于流形间的光滑映射。管状邻域定理是纠正这一缺陷的萌芽。给定流形M中的点p,其闭管状邻域微分同胚于,因此我们将M分解为沿的共同边界胶合的不交并。这里的关键问题是,胶合映射是微分同胚映射。同样,取中的光滑嵌入弧,其管状邻域微分同胚于。这样就可以把M写成三个流形的并,沿它们一部分边界胶合:1) 2) 3) 中弧的开管状邻域的补。注意所有胶合映射都是光滑的,特别是将胶合至时,等价关系由中的嵌入生成,根据管状邻域定理它是光滑的。

柄分解是斯蒂芬·斯梅尔的发明。[1]他的最初表述中,j-柄附着到m-流形M的过程假定有的光滑嵌入。令,流形(即M沿f并上一个j-柄)是指M的不交并,与其在中的像相等,即 其中等价关系生成,

M的并具有有限多个j-柄,且微分同胚于流形N,则称N来自在M上附着j-柄。则柄分解的定义与概述中相同。于是,若流形微分同胚于球的不交并,则流形的柄分解将只有0-柄。连通流形只含有两种柄(即0-柄与j-柄,其中j为定值),也称作柄体

术语

M并上j-柄时,

称作被附着球面(attaching sphere)。

f有时也称作被附着球面的框架(framing),因为它将其法丛平凡化

是柄中的带球(belt sphere)。

gk-柄附着到圆盘所得的流形是亏格为g(m,k)-柄体

配边演示

配边W的柄演示中有,且有渐进并 其中Mm维的,Wm+1维的,微分同胚于来自附着以i-柄。若说柄分解之于流形好比胞腔分解之于拓扑空间,择配边的柄演示之于有界流形就好比相关胞腔分解之于空间对。

莫尔斯理论观点

给定紧无界流形M上的莫尔斯函数,使f临界点满足,并有

微分同胚于,其中是临界点的指标,是黑塞矩阵为负定的切空间的最大子空间的维度。

令指标满足,则这是M的柄分解;由于流形上必有这样的莫尔斯函数,所以它们都有柄分解。相似地,给定配边W满足、函数,其在内部是莫尔斯的,在边界为常数,且满足指标递增,则配边W有诱导柄演示。

fM上的莫尔斯函数,则-f也是莫尔斯函数。相应的柄分解/演示称作对偶分解

主要定理与观察

  • 闭有向3-流形的希加德分裂将3-流形分解为两(3,1)-柄体沿共同边界之并,公共边界称作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好几种自然的产生方式:给定3-流形的柄分解,0、1-柄之交是(3,1)-柄体,3、2-柄的并也是(3,1)-柄体(从对偶分解的角度来看),于是是希加德分裂。若3-流形有三角化T,则有诱导希加德分裂,其中第一个(3,1)-柄体是1-骨架(skeleton)的正则邻域,其他(3,1)-柄体是对偶1-骨架的正则邻域。
  • 相继附着两个柄时,有可能切换附着的阶,使得,即此流形微分同胚于形式为的流形。
  • 的边界与沿有框架球f的边界是微分同胚。这是割补、柄与莫尔斯函数之间的主要联系。
  • 因此,当且仅当可通过对中的有框架链接(framed link)集进行割补,得到m维流形M时,Mm+1维流形W的边界。举例,由从René Thom关于配边的研究,我们知道每个3-流形都是某4-流形的边界(相似地,有向、有旋的3-流形分别是有向、有旋的4-流形的边界)。于是,3-流形都可从3-球中有框架链接的割补得到。在有向情形,常规做法是将这种有框架链接简化为圆的不交并的有框架嵌入。
  • h-配边定理通过简化光滑流形的柄分解证明。

另见

参考文献

注释

  1. ^ S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math. , 84 (1962) pp. 387–399

通用文献

  • A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992).
  • Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6