無窮遞降法,又名無窮遞減法(英語:Proof by infinite descent),是數學中證明方程無解的一種方法。
步驟
- 假設方程有解,並設X為最小的解。
- 從X推出一個更小的解Y。
- 從而與X的最小性相矛盾。所以,方程無解。
一些實用的例子
a2+b2=3(s2+t2)無非平方解
證明下列方程無正整數解:
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9e3c9663c53d605f2acb74d63b049fe688d30)
證明:
假設該方程有正整數解。
設
為最小的解。即
![{\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10eae03aacf3363844b0fd8ec6ade76391bc2bab)
顯然,
和
都必須能被3整除。設
及![{\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a045ed9cdcfd1886b30bf78ac687b6e4b79d38df)
我們得到
![{\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a956a109140f094ecb17712ce75d33bab68bb18)
![{\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9e1325671332b5c375b0b8c81af6d99f8e065e)
這是更小的解,與
的最小性相矛盾。所以,原方程無正整數解。
的無理性
假設
是有理數,即
有正整數解。
令
是此方程的最小解
易知
是偶數,從得
是偶數
⇒
和
是此方程的最小解矛盾,故無正整數解
⇒從得
是無理數
參見