无穷递降法,又名无穷递减法(英语:Proof by infinite descent),是数学中证明方程无解的一种方法。
步骤
- 假设方程有解,并设X为最小的解。
- 从X推出一个更小的解Y。
- 从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。
一些实用的例子
a2+b2=3(s2+t2)无非平方解
证明下列方程无正整数解:
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9e3c9663c53d605f2acb74d63b049fe688d30)
证明:
假设该方程有正整数解。
设
为最小的解。即
![{\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10eae03aacf3363844b0fd8ec6ade76391bc2bab)
显然,
和
都必须能被3整除。设
及![{\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a045ed9cdcfd1886b30bf78ac687b6e4b79d38df)
我们得到
![{\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a956a109140f094ecb17712ce75d33bab68bb18)
![{\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9e1325671332b5c375b0b8c81af6d99f8e065e)
这是更小的解,与
的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。
的无理性
假设
是有理数,即
有正整数解。
令
是此方程的最小解
易知
是偶数,从得
是偶数
⇒
和
是此方程的最小解矛盾,故无正整数解
⇒从得
是无理数
参见