柏拉圖分布 - 維基百科，自由的百科全書

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**柏拉圖分布**
機率密度函數
累積分布函數
母數	x_m > 0 k > 0
值域	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!$
機率密度函數	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}\!$
累積分布函數	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}\!$
期望值	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}\!$ ， $k>1$
中位數	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}$
眾數	$x_{\mathrm {m} }\,$
變異數	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}\!$ ， $k>2$
偏度	${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}\!$ ， $k>3$
峰度	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}\!$ ， $k>4$
熵	$\ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1\!$
動差母函數	未定義
特徵函數	$k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$

柏拉圖分布(Pareto distribution)是以義大利經濟學家維爾弗雷多·柏拉圖命名的。是從大量真實世界的現象中發現的冪定律分布。這個分布在經濟學以外，也被稱為布拉德福分布。

在柏拉圖分布中，如果X是一個隨機變數，則X的機率分布如下面的公式所示：

{\rm {P}}(X>x)=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-k}

其中x是任何一個大於x_min的數，x_min是X最小的可能值（正數），k是為正的母數。柏拉圖分布曲線族是由兩個數量母數化的：x_min和k。分布密度則為

p(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{if }}x<x_{\min };\\\\{k\;x_{\min }^{k} \over x^{k+1}},&{\mbox{if }}x>x_{\min }.\end{matrix}}\right.

柏拉圖分布屬於連續機率分布。「齊夫定律」, 也稱為「zeta 分布」, 也可以被認為是在離散機率分布中的柏拉圖分布。一個遵守柏拉圖分布的隨機變數的期望值為 $x_{\min }\;k \over k-1$ (如果 $k\leq 1$ , 期望值為無窮大) 且隨機變數的標準差為 ${x_{\min } \over k-1}{\sqrt {k \over k-2}}$ (如果 $k\leq 2$ , 標準差不存在)。

被認為大致是柏拉圖分布的例子有：

財富在個人之間的分布
人類居住區的大小
對維基百科條目的訪問
接近絕對零度時，玻色–愛因斯坦凝聚的團簇
在網際網路流量中文件尺寸的分布
油田的石油儲備數量
龍捲風帶來的災難的數量

參見

外部連結

閱論編常見一元（英語：Univariate distribution）機率分布

連續	Β 柯西 χ² 指數 F Γ 拉普拉斯對數常態常態柏拉圖學生t 均勻韋伯

離散	伯努利二項離散均勻幾何超幾何負二項卜瓦松

機率分布列表（英語：List of probability distributions）

機率分布（列表（英語：List of probability distributions））

離散單變量

有限支集	本福特定律伯努利分布 Β-二項式分布二項式分布 categorical（英語：categorical distribution）超幾何分布 negative（英語：Negative hypergeometric distribution） Poisson binomial（英語：Poisson binomial distribution） Rademacher（英語：Rademacher distribution）孤子分布離散型均勻分布齊夫定律 Zipf–Mandelbrot（英語：Zipf–Mandelbrot law）

無限支集	beta negative binomial（英語：beta negative binomial distribution） Borel（英語：Borel distribution） Conway–Maxwell–Poisson（英語：Conway–Maxwell–Poisson distribution） discrete phase-type（英語：Discrete phase-type distribution） Delaporte（英語：Delaporte distribution） extended negative binomial（英語：extended negative binomial distribution） Flory–Schulz（英語：Flory–Schulz distribution） Gauss–Kuzmin（英語：Gauss–Kuzmin distribution）幾何分布對數分布 mixed Poisson（英語：mixed Poisson distribution）負二項分布 Panjer（英語：(a,b,0) class of distributions） parabolic fractal（英語：parabolic fractal distribution）卜瓦松分布 Skellam（英語：Skellam distribution） Yule–Simon（英語：Yule–Simon distribution） zeta（英語：zeta distribution）

連續單變量

緊支集	arcsine（英語：Arcsine distribution） ARGUS（英語：ARGUS distribution） Balding–Nichols（英語：Balding–Nichols model） Bates（英語：Bates distribution） Β分布 beta rectangular（英語：Beta rectangular distribution） continuous Bernoulli（英語：Continuous Bernoulli distribution）歐文–賀爾分布 Kumaraswamy（英語：Kumaraswamy distribution） logit-normal（英語：Logit-normal distribution） noncentral beta（英語：Noncentral beta distribution） PERT（英語：PERT distribution） raised cosine（英語：Raised cosine distribution） reciprocal（英語：Reciprocal distribution）三角形分布 U-quadratic（英語：U-quadratic distribution）連續型均勻分布維格納半圓分布

半無限區間支集	Benini（英語：Benini distribution） Benktander 1st kind（英語：Benktander type I distribution） Benktander 2nd kind（英語：Benktander type II distribution） beta prime（英語：Beta prime distribution） Burr（英語：Burr distribution） chi（英語：chi distribution）卡方分布 noncentral（英語：Noncentral chi-squared distribution） inverse（英語：Inverse-chi-squared distribution） scaled（英語：Scaled inverse chi-squared distribution） Dagum（英語：Dagum distribution） Davis（英語：Davis distribution）愛爾朗分布 hyper（英語：Hyper-Erlang distribution）指數分布亞指數分布 logarithmic（英語：Exponential-logarithmic distribution） F-分布 noncentral（英語：Noncentral F-distribution） folded normal（英語：folded normal distribution） Fréchet（英語：Fréchet distribution）伽瑪分布 generalized（英語：Generalized gamma distribution） inverse（英語：Inverse-gamma distribution） gamma/Gompertz（英語：Gamma/Gompertz distribution） Gompertz（英語：Gompertz distribution） shifted（英語：shifted Gompertz distribution） half-logistic（英語：Half-logistic distribution） half-normal（英語：half-normal distribution） Hotelling's T-squared（英語：Hotelling's T-squared distribution）逆高斯分布廣義逆高斯分布科摩哥洛夫-斯米爾諾夫檢定 Lévy（英語：Lévy distribution） log-Cauchy（英語：log-Cauchy distribution） log-Laplace（英語：log-Laplace distribution） log-logistic（英語：log-logistic distribution）對數常態分布 log-t（英語：log-t distribution） Lomax（英語：Lomax distribution） matrix-exponential（英語：matrix-exponential distribution）麥克斯韋-玻爾茲曼分布 Maxwell–Jüttner（英語：Maxwell–Jüttner distribution） Mittag-Leffler（英語：Mittag-Leffler distribution） Nakagami（英語：Nakagami distribution）柏拉圖分布 phase-type（英語：Phase-type distribution） Poly-Weibull（英語：Poly-Weibull distribution）瑞利分布 relativistic Breit–Wigner（英語：Relativistic Breit–Wigner distribution）萊斯分布 truncated normal（英語：truncated normal distribution） type-2 Gumbel（英語：type-2 Gumbel distribution）韋伯分布 discrete（英語：discrete Weibull distribution） Wilks's lambda（英語：Wilks's lambda distribution）

無限區間支集	柯西分布 exponential power（英語：Generalized normal distribution）費雪z分布 Kaniadakis κ-Gaussian（英語：Kaniadakis Gaussian distribution） Gaussian q（英語：Gaussian q-distribution） generalized normal（英語：Generalized normal distribution） generalized hyperbolic（英語：Generalised hyperbolic distribution） geometric stable（英語：geometric stable distribution）耿貝爾分布 Holtsmark（英語：Holtsmark distribution） hyperbolic secant（英語：hyperbolic secant distribution） Johnson's S_U（英語：Johnson's SU-distribution）朗道分布拉普拉斯分布 asymmetric（英語：Asymmetric Laplace distribution） logistic（英語：logistic distribution） noncentral t（英語：Noncentral t-distribution）常態分布 normal-inverse Gaussian（英語：normal-inverse Gaussian distribution） skew normal（英語：Skew normal distribution） slash（英語：Slash distribution）穩定分布司徒頓t分布 Tracy–Widom（英語：Tracy–Widom distribution） variance-gamma（英語：Variance-gamma distribution）福格特函數

可變類型支集	generalized chi-squared（英語：Generalized chi-squared distribution） generalized extreme value（英語：generalized extreme value distribution） generalized Pareto（英語：Generalized Pareto distribution） Marchenko–Pastur（英語：Marchenko–Pastur distribution） Kaniadakis κ-exponential（英語：Kaniadakis Exponential distribution） Kaniadakis κ-Gamma（英語：Kaniadakis Gamma distribution） Kaniadakis κ-Weibull（英語：Kaniadakis Weibull distribution） Kaniadakis κ-Logistic（英語：Kaniadakis Logistic distribution） Kaniadakis κ-Erlangl（英語：Kaniadakis Erlang distribution） q-exponential（英語：q-exponential distribution） q-Gaussian（英語：q-Gaussian distribution） q-Weibull（英語：q-Weibull distribution） shifted log-logistic（英語：Shifted log-logistic distribution） Tukey lambda（英語：Tukey lambda distribution）