20世紀的常用對數表
對數表指計算出從1開始各整數的對數(現在一般用常用對數),所編排成的表格。
應用
根據對數運算的基本公式,可知
且
(b>0),知道兩大數的對數可很快計算出兩數的積和商。
用法
查表(取得對數值)
一般常見的常用對數表(「常用」指以10為底)只提供log 1.000至log 9.999的值,不在此範圍內的數字須先行處理,以下用取得1055的對數值(求得log 1055)作說明。
- 將數字轉換為科學記號表示法,如1055=1.055×103,其中只有1.055是對數表能直接處理的部分,而103的部分可直接得到log 103=3。
- 將1.055分為三部分依序查表:1.0(找尋10,對數表格常故意省略小數點)、0.05(小數點後第二位)、0.005(小數點後第三位)。
- 在對數表中的行找到10(即1.0)、欄位為5(即0.05)的值,得到0212,對數表中所有對數值都須乘以10−4才是真正值,0212代表0.0212。須注意此步驟只得到log 1.05=0.0212,小數點後第三位還沒有處理(需有表尾差或計算線性內插)。
- 如對數表附有表尾差(或稱比例部分),則可進一步處理0.005的部分,在表尾差中找尋欄位5,得到21(表示前一步驟所得的0.0212需要再修正增加0.0021),得到log 1.055=0.0212+0.0021=0.0233。注意表尾差的值需再乘以10−4才是真正值。
- 如對數表沒有表尾差,則可用線性內插法求得。1.05<1.055<1.06,尚需另外查表log 1.06=0.0253,解方程式:
可得
。
- 總和上述結果,得到
。
反查表(反求指數函數值)
對數表提供查取對數值,故反向操作由對數值取得真數,則可得其反函數值,即求得指數函數值。但常見的對數表只提供log 1.000至log 9.999的值,查表得到的對數值範圍侷限在0.0000至1.0000間,只有小數的部分可以處理,至於整數部分則直接轉換為10的次方數,以下用6.9628為例作說明,此反查的過程相當於計算106.9628。
- 將6.9628拆解為整數6與小數0.9628兩個部分,以下針對0.9628查表,整數6代表106。
- 找尋表格中數字為9628,因對數函數為單調遞增函數,故只要由左而右、從上至下便可依序尋得,對照行的標示值91(得9.1)、與欄位標示值8(0.08),得到100.9628=9.1+0.08=9.18。
- 總和上述結果,得到106.9628=106×9.18=9180000。
應用範例:乘法
- 首先假設要計算1055×8712。
- 將兩數分別取其對數,經查表可得log 1055=3.0233,log 8712=3.9395。
- 再將兩對數值相加,得6.9628。
- 由對數表反查得到106.9628=9180000。
- 比較:直接計算1055×8712=9191160,由對數表查表所得誤差約−0.1%,由於一般常見的對數表只提供4位有效數字,故利用對數表作乘法運算時雖然只能確保結果的數量級(本例中為106)以及前幾位數字的準確,但是可以快速提供大數的乘法。
早期建立法
最初,建立對數表必須先有小數指數表。
比如要建立真數精確到千分位而對數精確到萬分位的對數表,首先得估計
的值。
首先查出
而
,再算出兩者與真數的差:前者為0.000079,後者為0.000151,顯然對數值取為0.0004更恰當。
以此類推,分別算出
、
……最後就成了對數表。
現代建立法
現代對數表用對數函數的泰勒級數來製作。由於
,因此
,同樣的,分別算出
、
……,就能造出以自然對數
為底數的對數表,然後再用換底公式就可以造出以10為底數的對數表。
參見
外部連結