20世纪的常用对数表
对数表指计算出从1开始各整数的对数(现在一般用常用对数),所编排成的表格。
应用
根据对数运算的基本公式,可知
且
(b>0),知道两大数的对数可很快计算出两数的积和商。
用法
查表(取得对数值)
一般常见的常用对数表(“常用”指以10为底)只提供log 1.000至log 9.999的值,不在此范围内的数字须先行处理,以下用取得1055的对数值(求得log 1055)作说明。
- 将数字转换为科学记号表示法,如1055=1.055×103,其中只有1.055是对数表能直接处理的部分,而103的部分可直接得到log 103=3。
- 将1.055分为三部分依序查表:1.0(找寻10,对数表格常故意省略小数点)、0.05(小数点后第二位)、0.005(小数点后第三位)。
- 在对数表中的行找到10(即1.0)、栏位为5(即0.05)的值,得到0212,对数表中所有对数值都须乘以10−4才是真正值,0212代表0.0212。须注意此步骤只得到log 1.05=0.0212,小数点后第三位还没有处理(需有表尾差或计算线性内插)。
- 如对数表附有表尾差(或称比例部分),则可进一步处理0.005的部分,在表尾差中找寻栏位5,得到21(表示前一步骤所得的0.0212需要再修正增加0.0021),得到log 1.055=0.0212+0.0021=0.0233。注意表尾差的值需再乘以10−4才是真正值。
- 如对数表没有表尾差,则可用线性内插法求得。1.05<1.055<1.06,尚需另外查表log 1.06=0.0253,解方程式:
可得
。
- 总和上述结果,得到
。
反查表(反求指数函数值)
对数表提供查取对数值,故反向操作由对数值取得真数,则可得其反函数值,即求得指数函数值。但常见的对数表只提供log 1.000至log 9.999的值,查表得到的对数值范围局限在0.0000至1.0000间,只有小数的部分可以处理,至于整数部分则直接转换为10的次方数,以下用6.9628为例作说明,此反查的过程相当于计算106.9628。
- 将6.9628拆解为整数6与小数0.9628两个部分,以下针对0.9628查表,整数6代表106。
- 找寻表格中数字为9628,因对数函数为单调递增函数,故只要由左而右、从上至下便可依序寻得,对照行的标示值91(得9.1)、与栏位标示值8(0.08),得到100.9628=9.1+0.08=9.18。
- 总和上述结果,得到106.9628=106×9.18=9180000。
应用范例:乘法
- 首先假设要计算1055×8712。
- 将两数分别取其对数,经查表可得log 1055=3.0233,log 8712=3.9395。
- 再将两对数值相加,得6.9628。
- 由对数表反查得到106.9628=9180000。
- 比较:直接计算1055×8712=9191160,由对数表查表所得误差约−0.1%,由于一般常见的对数表只提供4位有效数字,故利用对数表作乘法运算时虽然只能确保结果的数量级(本例中为106)以及前几位数字的准确,但是可以快速提供大数的乘法。
早期建立法
最初,建立对数表必须先有小数指数表。
比如要建立真数精确到千分位而对数精确到万分位的对数表,首先得估计
的值。
首先查出
而
,再算出两者与真数的差:前者为0.000079,后者为0.000151,显然对数值取为0.0004更恰当。
以此类推,分别算出
、
……最后就成了对数表。
现代建立法
现代对数表用对数函数的泰勒级数来制作。由于
,因此
,同样的,分别算出
、
……,就能造出以自然对数
为底数的对数表,然后再用换底公式就可以造出以10为底数的对数表。
参见
外部链接