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元素 (範疇論)

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範疇論元素(英語:element),或(英語:point),將集合論集合元素的概念更推廣到任何範疇的物件。通常情況下,這一想法重新表述了泛性質態射(如單態射)的定義及屬性,用更普遍的術語映射其與元素的關係,從而使態射和元素可以互相轉換。米田引理米切爾嵌入定理英語Mitchell's embedding theorem等一些普遍結論說明此種轉換為何成立。這種範疇論的方法(尤其是對米田引理的運用)由格羅滕迪克提出,通常被稱為點函子方法(英語:the method of the functor of points)。

定義

假設範疇C擁有AT兩個物件。 AT值點只是一個的態射。 A 的所有T值點的集合隨著T自然轉換,從而產生A的「點函子」;根據米田引理,這可以將A完全確定為C的物件。

態射性質

幾何原點

與集合論的關係

C是範疇Set,即實際元素的集合時,其與範疇論元素的情況類似。在這種情況下,我們有「單點」集合{1},任何集合S的元素都與S的{1}的值點相同。此外,還有{1,2}值點,它們是S的元素對,或S × S的元素。這些高階的點和集合併沒有直接聯繫: S完全由它的{1}點決定。然而,如上所示,這是特殊情況(因為所有集合都是{1}的迭代余積英語Coproduct)。

參考書目