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元素 (范畴论)

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范畴论元素(英语:element),或(英语:point),将集合论集合元素的概念更推广到任何范畴的对象。通常情况下,这一想法重新表述了泛性质态射(如单态射)的定义及属性,用更普遍的术语映射其与元素的关系,从而使态射和元素可以互相变换。米田引理米切尔嵌入定理英语Mitchell's embedding theorem等一些普遍结论说明此种变换为何成立。这种范畴论的方法(尤其是对米田引理的运用)由格罗滕迪克提出,通常被称为点函子方法(英语:the method of the functor of points)。

定义

假设范畴C拥有AT两个对象。 AT值点只是一个的态射。 A 的所有T值点的集合随着T自然变换,从而产生A的“点函子”;根据米田引理,这可以将A完全确定为C的对象。

态射性质

几何原点

与集合论的关系

C是范畴Set,即实际元素的集合时,其与范畴论元素的情况类似。在这种情况下,我们有“单点”集合{1},任何集合S的元素都与S的{1}的值点相同。此外,还有{1,2}值点,它们是S的元素对,或S × S的元素。这些高阶的点和集合并没有直接联系: S完全由它的{1}点决定。然而,如上所示,这是特殊情况(因为所有集合都是{1}的迭代余积英语Coproduct)。

参考书目