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代數拓撲

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環面,代數拓撲學中最常出現的研究物件之一。

代數拓撲(英語:Algebraic topology)是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間數學分支。其基本目標是通過尋找拓撲空間的具有代數結構的不變量,從而將拓撲空間分類英語Classification theorem

儘管代數拓撲學主要通過代數研究拓撲問題,但有時也可以使用拓撲學知識解決代數問題。例如,代數拓撲學可以方便地證明自由群的任何子群又是一個自由群。

代數拓撲的主要分支

代數拓撲的幾個主要分支如下:

同倫群

在數學中,同倫群是一個用於分類拓撲空間基本群是同倫群最簡單的例子,記錄了空間中環結的資訊。直觀上來說,同倫群記錄了拓撲空間中的基本形狀,即「孔洞」的資訊。

同調

在代數拓撲和抽象代數中,同調(homology,名稱部分來源於希臘語ὁμός homos = "同")是一類將一個阿貝爾群序列聯繫到一個給定數學物件(如拓撲空間、群等)的過程[1]

餘調

同調論中,餘調是對一個在餘鍵複形(co-chain)上定義一個阿貝爾群序列的過程的統稱。換言之,餘調是對「餘鍵」、餘圈(cocycle)和上邊際(coboundary)的抽象研究。餘調可以看作是一種對拓撲空間賦予代數不變量的方法,但其代數結構同調更為精煉。餘調源於同調的構造過程的代數對偶。通俗意義上講,餘鍵的基本意義是為同調的鏈賦予某種「量」。

流形

流形是局部上近似於歐幾里得空間拓撲空間。更精確的說,n-流形上的每一點都有一個同胚n維歐式空間的鄰域。舉例來說,直線都是一維流形,但數字8則不是。二維流形也稱作曲面。二維流形的例子有平面球面環面等可看作三維空間中的物體的物件,但也包括克萊因瓶實射影平面等不可看作三維空間裡的物體,而必須看作四維空間裡的物體的物件。

紐結理論

紐結理論是對(數學意義上的)紐結的研究。雖然紐結的概念是受現實生活中的繩結啟發,對數學家而言「繩結」的兩端是粘連在一起的,因而不能解開。在數學上,紐結的精確定義為在三維歐幾里得空間R3嵌入。若一個紐結能由另一個紐結通過對R3變形而得到(亦稱環境同痕),我們就將其視為同一個紐結。這樣的對環境的轉換相當於對一個線圈進行連續操作,但避免剪開線圈或使線圈穿過自身。

複形

單體複形拓撲空間的一類,由線段三角形單體「粘合」而成。單體複形不應當與範疇同倫論中的單純集合混淆。單體在組合學中對應於抽象單體

CW複形是一種拓撲空間,由J.H.C.懷特海德為迎合同倫論的需要而引入。這類空間比單體有更良好的範疇學性質,且仍舊保留其組合學的本質,因此計算方面的考慮沒有被忽略。

代數不變量方法

這裡的目標是取拓撲空間然後把它們進一步分成範疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲,蘊含著將重點放在如何從更簡單的空間構造空間X的意思。現在應用於代數拓撲的基本方法是通過函子,把空間映射到相應的代數範疇上。例如,通過一種保持空間的同胚關係的方式映射到上。

實現這個目標的主要方法是通過基本群,或者更一般的同倫論,和同調餘調群。基本群給了我們關於拓撲空間結構的基本資訊,但它們經常是非交換的,可能很難使用。(有限)單體複形的基本群的確有有限表示

另一方面來講,同調餘調群是交換群,並且在許多重要情形下是有限生成的。有限生成交換群有完整的分類,並且特別易於使用。

同調的結果

通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結論。單體複形的n-階同調群的自由階等於n-階貝蒂數(Betti number),所以可以直接使用單體複形的同調群來計算它的歐拉示性數。作為另外一個例子,閉流形的最高維的積分餘調群可以探測可定向性:該群同構於整數或者0,分別在流形可定向和不可定向時。這樣,很多拓撲資訊可以在給定拓撲空間的同調中找到。

在只定義在單體複形的單純同調之上,還可以使用光滑流形的微分結構來通過德拉姆餘調或Čech餘調或層餘調來研究定義在流形上的微分方程式的可解性。德拉姆證明所有這些方法是相互關聯的,並且對於閉可定向流形,通過單純同調得出的貝蒂數和從德拉姆餘調導出的是一樣的。

在範疇論中

一般來講,所有代數幾何的構造都是函子式的:概念範疇函子自然轉換起源於此。基本群,同調和餘調群不僅是兩個拓撲空間同胚時的不變量;而且空間的連續映射可以導出所相關的群的一個群同態,而這些同態可以用於證明映射的不存在性(或者,更深入的,存在性)。

代數拓撲的問題

代數拓撲的經典應用包括:

  • 布勞威爾不動點定理:每個從n維圓盤到自身的連續映射存在一個不動點。
  • n維球面可以有一個無處為0的連續單位向量場若且唯若n是奇數。(對於n=2,這有時被稱為"毛球定理"。)
  • 博蘇克-烏拉姆定理:任何從n維球面到歐氏n維空間的映射至少將一對對角點映射到同一點。
  • 任何自由群的子群是自由的。這個結果很有意思,因為該命題是純代數的而最簡單的證明卻是拓撲的。也就是說,任何自由群G可以實現為X的基本群。覆蓋空間的主定理告訴我們每個G的子群H是某個X的覆蓋空間Y的基本群;但是每個這樣的Y又是一個圖。所以其基本群H是自由的。

代數拓撲中最著名的問題之一是龐加萊猜想,它已經由俄國數學家格里戈里·佩雷爾曼於2003年解決。同倫論領域包含了很多懸疑,如表述球面的同倫群的正確方式等。

重要著作

參考文獻

引用

  1. ^ Fraleigh (1976,第163頁)

來源