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罗素悖论

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罗素悖论(英语:Russell's paradox),是英国哲学家伯特兰·罗素于1901年提出的悖论,是一个关于的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述,如理发师悖论、书目悖论。但理发师悖论被一些人认为只是罗素悖论的一种描述方式,仅以理发师悖论并无法完全叙述罗素悖论。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

定义

,那么

我们通常希望,任给一个性质(例如“年满三十岁”就是一个性质),满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性质,并以一性质函数表示,且其中的自变量具有特性。现假设由性质能够确定一个满足性质的集合——也就是说 。那么,是否成立?

首先,若,则的元素,那么具有性质,由性质函数可以得知

其次,若,根据定义,是由所有满足性质的类组成,也就是说,具有性质,所以

通俗诠释

理发师悖论

小城里的理发师放出豪言:他要为城里人刮胡子,而且一定只要为城里所有“不为自己刮胡子的人”刮胡子。

但问题是:理发师该为自己刮胡子吗?如果他为自己刮胡子,那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他不应该为自己刮胡子;但如果他不为自己刮胡子,同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。

集合论的语言来描述理发师悖论是这样的:小城里的人构成集合,对于每个小城里的人可以构造一个的子集,即给属于的人刮胡子。那么,如果城里人给自己刮胡子,则,如果不给自己刮胡子,则,如果不给任何人刮胡子,则 为空,即。设理发师为,则理发师的豪言就是:。问题是:如果,这将与的定义矛盾,但如果,根据的定义,又应该有。理发师悖论是个逻辑悖论。用集合论语言来描述并不是必需的,只是为了将来更容易说明它与罗素悖论不是一回事。

书目悖论

书目悖论(英语:Catalogue Paradox)是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为,假设有一图书馆编制了一部书目,有且仅有列出那些未列出自身的书目,那么这部书目会列出自身吗?[1]

解决方案

当一个句子、想法或公式引用自身时,就会出现自指。直到现在,真正意义上的悖论,其问题几乎都是自指或自相关而引起。[2] 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾(“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述),但自指是悖论的一个常见要素。根据路德维希·维特根斯坦的《逻辑哲学论》,任何命题不能包含自身,同理一个函数不能包含自身。

罗素悖论中,在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此,罗素提出了恶性循环原则英语Vicious_circle_principle,禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。[2]逻辑系统中,如果要求任何命题不能违反恶性循环原则,则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

参考资料

  1. ^ Curry, H. B, Haskell B. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications. 1977: 5. ISBN 9780486634623. 
  2. ^ 2.0 2.1 Bolander, Thomas. Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition). [2020-12-28]. (原始内容存档于2021-06-10). In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones.  

参见