獨立性 (數理邏輯)

在數理邏輯上，獨立性指的是一個句子相對於其他句子的不可證明性。

若一個句子$\sigma$獨立於一個一階理論$T$，那就表示說$\sigma$在$T$中是不能證明也不能否證的，也就是說不能由$T$證明$\sigma$，也不能由$T$證明$\sigma$為偽。對於這樣的$\sigma$，有時會說$\sigma$在$T$中是不可判定的，而這裡的「不可判定」跟決定性問題中的「不可判定」是不同的。

若理論$T$中的每項公設都不能由$T$中的其他公設證明，則說$T$是獨立的，一個有著獨立公設集合的理論又稱可獨立公設化的。

用法注意

在一些作者的用法下，「$\sigma$獨立於$T$」只表示「$\sigma$在$T$中是不能證明的」，但不表示$\sigma$是不能否證的，而這些作者在講說「$\sigma$在$T$中是不能證明也不能否證的」時候，常會說「$\sigma$是獨立且自洽於$T$的。」

集合論中的獨立結果

• 選擇公理
• 連續統假設
• 蘇斯林問題

在假定ZFC（帶有選擇公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）本身自洽的狀況下，下述的問題是獨立於ZFC的：

• 強不可達基數的存在性
• 大基數的存在性
• 庫瑞巴樹的存在性

下述的問題不相容於選擇公理，故不與ZFC相容；然而這些問題很可能獨立於ZF；換句話說下述的問題不能在ZF中證明，且只有少數的集合論專家期望在ZF中找到這些問題的否證；然而即使ZF是自洽的，也無法以ZF證明下述的問題獨立於ZF：

• 決定公理
• 實決定公理
• AD+

在物理理論上的應用

自2000年起，學界開始認為邏輯獨立性在物理基礎上扮演著關鍵角色。

參見

• ZFC系統無法確定的命題列表
• 幾何等領域的平行公設

參考資料

• Mendelson, Elliott, An Introduction to Mathematical Logic 4th, London: Chapman & Hall, 1997, ISBN 978-0-412-80830-2 
• Monk, J. Donald, Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90170-1  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Stabler, Edward Russell, An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1948