渐伸线(involute)(或称渐开线(evolvent))和渐屈线(evolute)是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线,曲线B是曲线A的渐屈线。
在曲线上选一定点S。有一动点P由S出发沿曲线移动,选在P的切线上的Q,使得曲线长SP 和直线段长PQ 相同。渐伸线就是Q的轨迹。
若曲线B有参数方程
,其中
,曲线A的方程为
。
曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。
若该曲线有参数方程
(
),则其渐屈线为
。
每条曲线可有无穷多条渐伸线,但只有一条渐屈线。
参数化曲线
渐开线方程曲线的参数化定义的函数( x(t) , y(t) ) 是:
![{\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203e22b2482eac10aaea0446f9a3e69e82db9674)
范例
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圆的渐伸线 (反向, by unwinding)
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悬链线的渐开线是一个 曳物线。
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圆的渐伸线
圆的渐伸线会形成一个类似阿基米德螺线的图形。
![{\displaystyle \,x=a\left(\cos \ t+t\sin \ t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9402076145d113f5c6cadfa7ca1b42965c9369)
![{\displaystyle \,y=a\left(\sin \ t-t\cos \ t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445e0f7cf4e8920d7f648f4001690a9b85804722)
其中
是圆的半径,
为参数
- 在 极坐标系中,
一个圆的渐开线的参数方程可以写成:
![{\displaystyle \,r=a\sec \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7725966c2d60fa0eeb0e0f5c3a8802a8bad0baff)
![{\displaystyle \,\theta =\tan \alpha -\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ee6306e0fef968cf874c33eb2c639367df8b8e)
其中
是圆的半径
为参数
通常,一个圆的渐开线常被写成写成:
![{\displaystyle \,r=a{\sqrt {1+t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a207a7317449a56d14588734d2c35c1ff4d3847e)
.
欧拉建议使用圆的渐开线作为齿轮的形状, 这个设计普遍存在于目前使用,称为渐开线齿轮。
悬链线的渐开线
一个悬链线的渐开线 会通过此悬链线的顶点 ,形成曳物线。 在笛卡儿坐标系中,一个悬链线的渐开线的参数方程可以写成:
![{\displaystyle x=t-\mathrm {tanh} (t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7ccef8f7e4919bb97f11ffe9f123c0ec0d088b)
![{\displaystyle y=\mathrm {sech} (t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9a4b5718cf232892ad900cbc442d61521ea1c7)
其中t 是参数,而sech是双曲正割函数(1/cosh(x))
衍生
用
我们得到
且
。
替代成
可得到
。
摆线的渐开线
一个 摆线的渐开线是另一个与它 全等的摆线 在笛卡儿坐标系中,一个摆线的渐开线的参数方程可以写成:
![{\displaystyle x=r(t-\sin(t))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2324ca30b9f4524dafcef1b0427ea3564f63fcb2)
![{\displaystyle y=r(1-\cos(t))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f160a6a4e7f7c395cc17215e01f857b9b832c415)
其中t是角度,r是半径
参见
外部链接