树 (数据结构)

在电脑科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

每个节点都只有有限个子节点或无子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
树里面没有环路(cycle)

术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
树的度：一棵树中，最大的节点度称为树的度；
叶节点或终端节点：度为零的节点；
非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

有序/无序：

无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树。
有序树/搜索树/查找树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树。即树的所有节点按照一定的顺序排列，这样进行插入、删除、查找时效率就会非常高

平衡/不平衡：

平衡树
- 绝对平衡树：所有叶节点在同一层
- 非绝对平衡树
不平衡树

节点的分叉情况：

等叉树：是每个节点的键值个数都相同、子节点个数也都相同
- 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
  - 完全二叉树：对于一棵二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；
    - 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
  - 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
  - 排序二叉树：也称二叉查找树、二叉搜索树、有序二叉树；
- 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
- 多叉树（英语：m-ary tree）
不等叉树：每个节点的键值个数不一定相同、子节点个数也不一定相同
- B树：对不等叉树的节点键值数和插入、删除逻辑添加一些特殊的要求，使其能达到绝对平衡的效果。B树全称Balance Tree。如果某个B树上所有节点的分叉数最大值是m，则把这个B数叫做m阶B树。

存储

父节点表示法

存储结构

/* 树节点的定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct
{
  TElemType data;
  int parent; /* 父节点位置域 */
} PTNode;
typedef struct
{
  PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
  int n; /* 节点数 */
} PTree;

A

B

E

	H

	I

	J

C

D

F

G

	K

基本操作

设已有链队列类型LinkQueue的定义及基本操作（参见队列）。

构造空树

清空或销毁一个树也是同样的操作

void ClearTree(PTree *T)
{ 
  T->n = 0;
}

构造树

void CreateTree(PTree *T)
{ 
  LinkQueue q;
  QElemType p,qq;
  int i=1,j,l;
  char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  printf("请输入根节点(字符型，空格为空): ");
  scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0，%*c吃掉回车符 */
  if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */
  {
    T->nodes[0].parent=-1 ; /* 根节点无父节点 */
    qq.name=T->nodes[0].data;
    qq.num=0;
    EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */
    while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */
    {
      DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */
      printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name);
      gets(c);
      l=strlen(c);
      for(j=0;j<l;j++)
      {
        T->nodes[i].data=c[j];
        T->nodes[i].parent=qq.num;
        p.name=c[j];
        p.num=i;
        EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */
        i++;
      }
    }
    if(i>MAX_TREE_SIZE)
    {
      printf("节点数超过数组容量\n");
      exit(OVERFLOW);
    }
    T->n=i;
  }
  else
    T->n=0;
}

判断树是否为空

Status TreeEmpty(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */
  return T->n==0;
}

获取树的深度

int TreeDepth(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */
  int k,m,def,max=0;
  for(k=0;k<T->n;++k)
  {
    def=1; /* 初始化本节点的深度 */
    m=T->nodes[k].parent;
    while(m!=-1)
    {
      m=T->nodes[m].parent;
      def++;
    }
    if(max<def)
      max=def;
  }
  return max; /* 最大深度 */
}

获取根节点

TElemType Root(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].parent<0)
      return T->nodes[i].data;
  return Nil;
}

获取第i个节点的值

TElemType Value(PTree *T,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，i是树T中节点的序号。操作结果：返回第i个节点的值 */
  if(i<T->n)
    return T->nodes[i].data;
  else
    return Nil;
}

改变节点的值

Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中节点的值。操作结果：改cur_e为value */
  int j;
  for(j=0;j<T->n;j++)
  {
    if(T->nodes[j].data==cur_e)
    {
      T->nodes[j].data=value;
      return OK;
    }
  }
  return ERROR;
}

获取节点的父节点

TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果：若cur_e是T的非根节点，则返回它的父节点，否则函数值为＂空＂*/
  int j;
  for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */
    if(T->nodes[j].data==cur_e)
      return T->nodes[T->nodes[j].parent].data;
  return Nil;
}

获取节点的最左孩子节点

TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子节点，则返回它的最左孩子，否则返回＂空＂*/
  int i,j;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
      break;
  for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数，孩子的序号＞其父节点的序号 */
    if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号＜其它孩子的序号 */
      return T->nodes[j].data;
  return Nil;
}

获取节点的右兄弟节点

TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回＂空＂*/
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
      break;
  if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent)
  /* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */
    return T->nodes[i+1].data;
  return Nil;
}

输出树

void Print(PTree *T)
{ /* 输出树T。加 */
  int i;
  printf("节点个数=%d\n",T->n);
  printf(" 节点 父节点\n");
  for(i=0;i<T->n;i++)
  {
    printf("    %c",Value(T,i)); /* 节点 */
    if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */
      printf("    %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */
    printf("\n");
  }
}

向树中插入另一棵树

Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c)
{ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度+1，非空树c与T不相交 */
  /* 操作结果：插入c为T中p节点的第i棵子树 */
  int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */
  PTNode t;
  if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */
  {
    for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */
      if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */
        break;
    l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */
    if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */
    {
      for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */
        if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */
        {
          n++; /* 孩子数加1 */
          if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */
            break;
        }
      l=k+1; /* c插在k+1处 */
    } /* p的序号为j，c插在l处 */
    if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */
      for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */
      {
        T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k];
        if(T->nodes[k].parent>=l)
          T->nodes[k+c.n].parent+=c.n;
      }
    for(k=0;k<c.n;k++)
    {
      T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */
      T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l;
    }
    T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */
    T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */
    while(f)
    { /* 从插入点之后，将节点仍按层序排列 */
      f=0; /* 交换标志置0 */
      for(j=l;j<T->n-1;j++)
        if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent)
        {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后（树没有按层序排列），交换两节点*/
          t=T->nodes[j];
          T->nodes[j]=T->nodes[j+1];
          T->nodes[j+1]=t;
          f=1; /* 交换标志置1 */
          for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */
            if(T->nodes[k].parent==j)
              T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */
            else if(T->nodes[k].parent==j+1)
              T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */
        }
    }
    return OK;
  }
  else /* 树T不存在 */
    return ERROR;
}

删除子树

Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */
void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度 */
  /* 操作结果：删除T中节点p的第i棵子树 */
  int j,k,n=0;
  LinkQueue q;
  QElemType pq,qq;
  for(j=0;j<=T->n;j++)
    deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */
  pq.name='a'; /* 此成员不用 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  for(j=0;j<T->n;j++)
    if(T->nodes[j].data==p)
      break; /* j为节点p的序号 */
  for(k=j+1;k<T->n;k++)
  {
    if(T->nodes[k].parent==j)
      n++;
    if(n==i)
      break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */
  }
  if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */
  {
    n=0;
    pq.num=k;
    deleted[k]=1; /* 置删除标记 */
    n++;
    EnQueue(&q,pq);
    while(!QueueEmpty(q))
    {
      DeQueue(&q,&qq);
      for(j=qq.num+1;j<T->n;j++)
        if(T->nodes[j].parent==qq.num)
        {
          pq.num=j;
          deleted[j]=1; /* 置删除标记 */
          n++;
          EnQueue(&q,pq);
        }
    }
    for(j=0;j<T->n;j++)
      if(deleted[j]==1)
      {
        for(k=j+1;k<=T->n;k++)
        {
          deleted[k-1]=deleted[k];
          T->nodes[k-1]=T->nodes[k];
          if(T->nodes[k].parent>j)
            T->nodes[k-1].parent--;
        }
        j--;
      }
    T->n-=n; /* n为待删除节点数 */
  }
}

层序遍历树

void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType))
{ /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */
  /* 操作结果：层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    Visit(T->nodes[i].data);
  printf("\n");
}

孩子链表表示法

存储结构

/*树的孩子链表存储表示*/
typedef struct CTNode { // 孩子节点
  int child;
  struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct {
  ElemType data； // 节点的数据元素
  ChildPtr firstchild； // 孩子链表头指针
} CTBox;
typedef struct {
  CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]；
  int n, r； // 节点数和根节点的位置
} CTree;

A

B

E

	H

	I

	J

C

D

F

G

	K

森林、树与二叉树的转换

见二叉树相应章节

外部链接

（中文）树-数据结构(Python)by EINDEX
Data Structures and Algorithm Analysis in C (2nd edition) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考文献

查论编电脑科学中的树
二叉树	二叉搜索树笛卡尔树 MVP树 Top tree（英语：Top tree） T树线索二叉树
自平衡二叉查找树	AA树 AVL树左倾红黑树红黑树替罪羊树伸展树树堆加权平衡树
B树	B+树 B*树 B^x树 UB树 2-3树 2-3-4树 (a,b)-树（英语：(a,b)-tree）跳舞树（英语：Dancing tree） H树
堆	二叉堆二项堆斐波那契堆左偏树配对堆斜堆范恩德蟒蛇树（英语：Van Emde Boas tree）
Trie	后缀树基数树三叉查找树 X-快速前缀树 Y-快速前缀树 AC自动机
二叉空间分割（BSP）树	四叉树八叉树 k-d树隐式k-d树 VP树
非二叉树	指数树（英语：Exponential tree）融合树（英语：Fusion tree） PQ树（英语：PQ tree） SPQR树（英语：SPQR tree）
空间数据分割树	R树 R*树 R+树 X树 M树线段树 (存储区间) 线段树 (区间查询) 可持久化线段树希尔伯特R树优先R树
其他树	散列日历散列树手指树（英语：Finger tree）顺序统计树度量树（英语：Metric tree）覆盖树（英语：Cover tree） BK树二重连锁树（英语：Doubly chained tree） iDistance（英语：iDistance） Link-cut tree（英语：Link-cut tree） Log-structured merge-tree（英语：Log-structured merge-tree）树状数组哈希树

查论编数据结构
类型	集合容器
抽象类型	关联数组多重关连数组（英语：Multimap）串列前向串列堆栈队列双端队列优先队列双端优先队列集合多重集并查集可持久化数据结构线段树
数组	字符串位数组环形缓冲器动态数组哈希表哈希数组树（英语：Hashed array tree）稀疏矩阵
链（英语：Linked data structure）	关联表（英语：Association list）链表跳跃列表松散链表（英语：Unrolled linked list）异或链表
树	线段树自平衡二叉查找树 B树二叉树 AA树 AVL树红黑树平衡树伸展树二叉查找树堆二叉堆左偏树二项堆斐波那契堆 R树 R*树 R+树希尔伯特R树（英语：Hilbert R-tree）希尔伯特前缀树哈希树
图	有向图有向无环图二元决策图无向图确定性非循环有限自动机（英语：Deterministic acyclic finite state automaton）
数据结构术语列表