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接近整数

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Ed Pegg jr.先生发现上图中的线段d长度为,非常接近7(数值为7.0000000857)[1]

趣味数学中,接近整数是指很接近整数无理数。这类数字中,有些因为其数学上的特性使其接近整数,有些还找不到其特性,看起来似乎只是巧合

有关黄金比例及其他皮索特-维贾亚拉加文数

黄金比例的高次方符合此特性。例如

其中代表费波纳契数列的第

这是因为有恒等式[注 1],所以当为足够大的正整数时,

这些数字接近整数的原因和黄金比例的特性有关,不是数学巧合。其原因是因为黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数,而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方会是接近整数。

这些数字与费波纳契数有密切的关系,因为费波纳契数相邻两项的比值会趋近于黄金比例,而如果m整除n,则第m个费波纳契数也会整除第n个费波纳契数。

皮索特-维贾亚拉加文数是指代数数本身大于1,而且其极小多项式中另一根的绝对值小于1。像黄金比例本身大于1,的最小多项式为

另一根为

绝对值小于1,因此黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数,其高次方会是接近整数。

依照根和系数的关系,可得知

可以用来表示,由于二根之和及二根之积均为整数,计算所得的结果也是一个正整数,假设为一正整数K,则可以用下式表示

由于的绝对值小于1,在n增大时,其高次方会趋于0,此时可得

除了黄金比例外,其他皮索特-维贾亚拉加文数的无理数也符合此一条件,例如

有关黑格纳数

以下也是几个非巧合出现的接近整数,和最大三项的黑格纳数有关:

以上三式可以用以下的式子表示[2]:

其中: 由于艾森斯坦级数的关系,使得上式中出现平方项。常数有时会称为拉马努金常数

有关π及e

许多有关πe的常数也是接近整数,例如

以及

格尔丰德常数)接近,至2011年为止还没找到出现此特性的原因[1],因此只能视为一数学巧合。另一个有关格尔丰德常数的常数也是接近整数

以下也是一些接近整数的例子

其他例子

,其中辛钦常数





,这是由于的缘故,另一个类似的例子为

外部链接

注释

  1. ^ 此式可利用数学归纳法与性质证明。

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Eric Weisstein, "Almost Integer"页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld
  2. ^ 存档副本. [2011-09-17]. (原始内容存档于2009-08-11).