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接近整数

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Ed Pegg jr.先生發現上圖中的線段d長度為,非常接近7(數值為7.0000000857)[1]

趣味數學中,接近整数是指很接近整數無理數。這類數字中,有些因為其數學上的特性使其接近整数,有些還找不到其特性,看起來似乎只是巧合

有關黃金比例及其他皮索特-维贾亚拉加文数

黃金比例的高次方符合此特性。例如

其中代表費波納契數列的第

這是因為有恆等式[註 1],所以當為足夠大的正整數時,

這些數字接近整數的原因和黃金比例的特性有關,不是數學巧合。其原因是因為黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数,而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方會是接近整數。

這些數字與費波納契數有密切的關係,因為費波納契數相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例,而如果m整除n,則第m個費波納契數也會整除第n個費波納契數。

皮索特-维贾亚拉加文数是指代數數本身大於1,而且其極小多項式中另一根的絕對值小於1。像黃金比例本身大於1,的最小多項式為

另一根為

絕對值小於1,因此黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数,其高次方會是接近整数。

依照根和系数的关系,可得知

可以用來表示,由於二根之和及二根之積均為整數,計算所得的結果也是一個正整數,假設為一正整數K,則可以用下式表示

由於的絕對值小於1,在n增大時,其高次方會趨於0,此時可得

除了黃金比例外,其他皮索特-维贾亚拉加文数的無理數也符合此一條件,例如

有關黑格納數

以下也是幾個非巧合出現的接近整數,和最大三項的黑格納數有關:

以上三式可以用以下的式子表示[2]:

其中: 由於艾森斯坦級數的關係,使得上式中出現平方項。常數有時會稱為拉馬努金常數

有關π及e

許多有關πe的常數也是接近整數,例如

以及

格尔丰德常数)接近,至2011年為止還沒找到出現此特性的原因[1],因此只能視為一數學巧合。另一個有關格尔丰德常数的常數也是接近整數

以下也是一些接近整數的例子

其他例子

,其中辛钦常数





,這是由於的緣故,另一個類似的例子為

外部連結

註釋

  1. ^ 此式可利用數學歸納法與性質證明。

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 Eric Weisstein, "Almost Integer"页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld
  2. ^ 存档副本. [2011-09-17]. (原始内容存档于2009-08-11).