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刘益 (数学家)

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刘益(?—?),河北中山府人,又称为“中山刘先生”,北宋数学家。著有《议古根源》一书二百问;南宋数学家杨辉在《杨辉算法》高度评价刘益在数学上的贡献:“刘益以勾股之术,治演段锁方,撰《议古根源》二百问。带益隅开方实冠前古[1]

杨辉在《杨辉算法》一书中多次引用《议古根源》。直到明代程大位的《算法统宗》还提到《议古根源》这部算书;但从此以后失传。所幸《杨辉算法》多处引用《议古根源》,从这些片断,可知刘益对数学的贡献有三个方面:截积术、演段术和带从开方正负损益法[2]

学术贡献

截积术

从平面几何图形截取一段已知面积,求截取面积有关的线段长度。 “圆田一段直径十三步,今从边截积三十二步;问:所截弦矢各几步?答数弦十二步矢四步

刘益得到下列方程

方法
上廉
下廉
负隅


即四次方程:

演段术

刘益演段图

刘益《议古根源》一书今已失传,但在南宋数学家杨辉的著作中还保留《议古根源》演段术的片段[3]杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下:中山刘先生序谓算之术入则诸门出则直田;《议古根源》故立演段百问,盖欲演算之片断也,知片断则能穷根源。

第六问:直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?

答曰十二步。

演段曰:和自乘有四段直田积一段差方积,所以用四积减和方余得差方一段,却取方面。

长阔差的平方 =
所以 长阔差 = 12

带从开方正负损益法

刘益将贾宪的改进成为解含任意系数的高次方程的方法 例:解下列四次方程

以4为商(矢)

方法
上廉
下廉
负隅

程序: 1)上商乘负隅并入下廉得三十二

方法
上廉
下廉
负隅


2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六

方法
上廉
下廉
负隅

3) 又已上商乘上廉得一千二十四为方法

方法
上廉
下廉
负隅

4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六与实相消为零

方法
上廉
下廉
负隅

得矢=4

评价

数学史家钱宝琮说:“宋时已能建立含负系数的四次方程,并能数值求解[4]

参考文献

  1. ^ 宋 杨辉 《杨辉算法 乘除变通本末 》第236页 辽宁教育出版社 ISBN 7538247394
  2. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 第二编 北宋时代 刘益 41-51页
  3. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 第二编 北宋时代 刘益演段术 46页
  4. ^ 钱宝琮 《中国数学史》上篇