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辛矩阵

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数学中,扭对称矩阵是指一个矩阵M(通常布于实数复数域上),使之满足

其中转置矩阵,而是一个固定的可逆斜对称矩阵;这类矩阵在适当的变化后皆能表为

两者的差异仅在于基的置换,其中 单位矩阵。此外, 行列式值等于一,且其逆矩阵等于

性质

凡扭对称矩阵皆可逆,其逆矩阵可表为

其中,反对称矩阵具有如下运算性质:

,
,
,

此外,扭对称矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭,因此一个域上的所有阶扭对称矩阵构成一个,记为。事实上它是的闭代数子群,其维度为。当时,带有自然的(复)李群结构。

由定义可知扭对称矩阵的行列式等于;事实上,可以利用普法夫值的公式:

由于,遂导出

时,有。换言之:二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

扭对称变换

线性代数的抽象框架里,我们可以用偶数维向量空间上的线性变换取代偶数阶矩阵,并固定一个非退化反对称双线性形以取代矩阵(赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间),如此便得到与基底无关的定义:

定义。一个扭对称向量空间上的线性变换若满足
则称为扭对称变换。

考虑,由于,故;另一方面,,于是得到。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定的一组基,借此将写成矩阵,并将表成斜对称矩阵,便回到先前的定义:

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