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对称群 (n次对称群)

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对称群S4凯莱图

数学上,集合X上的对称群记作SX或Sym(X)。它的元素是所有XX自身的双射。由于恒等函数是双射,双射的反函数也是双射,并且两个双射的复合仍是双射,这个集合关于函数的复合成为群,即是置换群Sym(X)。两个函数的复合一般记作f o g,在置换群的表示里简记作fg

对称群在很多不同的数学领域中,都扮演了重要角色。包括:伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。

有限置换群

各种置换群中,有限集合上的置换群有着特殊的重要性。

X = {1,...,n},

X上的对称群是SnX上所有的排列构成了全部一一映射的集合,因此,Snn!个元素。对n > 2,Sn不是阿贝尔群。当且仅当n ≤ 4时,Sn可解群。对称群的子群称为置换群

置换的乘积

对称群中,两个置换的乘积就是指双射函数的复合,由符号"∘"(U+2218 )来表示,也可以省略。例如:

fg的复合应先适用g,其后适用f。那么在g中的次序1将先被映射为元素2,然后再由 f的次序2变换成元素2,g的次序2先映射为5,然后由 f的次序5变换成4;3被 f∘g变换成5,如此类推。所以 f乘以g是:

容易证明长度为L =k·m轮换(或称循环,如下节叙述),它的k次方会分解为k个长度为m的轮换。比如(k = 2, m = 3):

对换

对换指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换,例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的g = (1 2)(2 5)(3 4)。

由于g能被写成奇数个对换的乘积,g是一个奇置换。与此相反的,f是一个偶置换。

一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的,但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变,可以据此定义奇置换和偶置换。

两个偶置换的乘积是偶置换,两个奇置换的乘积是偶置换,奇置换和偶置换的乘积是奇置换,偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的正负号(sign):

在这个定义下,

sgn: Sn → {+1,-1}

是一个群同态。({+1,-1}关于乘法构成群),这个同态的同态是所有的偶置换,称作n次交错群,记作An。它是Sn正规子群,有n! / 2个元素。

置换的正负号也可以定义为:

其中n-O(n)表示置换f轮换指数,O(n)表示置换f轨道(orbit)数。群Sn是An和由一个单一对换生成的任何子群的半直积

轮换

轮换指一种置换f,使得对集合{1,...,n}中的某个xx, f(x), f2(x), ..., fk(x) = xf作用下不映射到自身的所有元素。比如说,以下的置换h

就是一个轮换。因为h(1) = 4, h(3) = 1,h(4) = 3。2,5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3),它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同,则称它们不交。不交的轮换是可交换的,例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个Sn中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序,这种表示是唯一的。

共轭类

Sn共轭类是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭,当且仅当在它们的轮换表达中,轮换的数量以及长度都相等。比如说,在S5中, (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭,但不与(1 2)(4 5)共轭。

凯莱定理

凯莱定理:任意群G都与某个变换群同构。
推论:任意有限群都与某个置换群同构。

参见