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受控不变子空间

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受控不变子空间(controlled invariant subspace)是控制理论的名词。考虑一个以状态空间表示的系统,其受控不变子空间为满足以下条件的子空间英语Euclidean subspace:若系统一开始的初始状态在此子空间内,有可能控制系统,让系统始终在此子空间内。此概念是由Giuseppe Basile和Giovanni Marro所提出的(Basile & Marro 1969)。

定义

考虑用以下微分方程表示的线性系统

此处,x(t) ∈ Rn表示系统的状态,而u(t) ∈ Rp为输入。矩阵A and B的大小分别是n × nn × p

子空间VRn受控不变子空间,若针对任意x(0) ∈ V, ,都存在一输入u(t)使得x(t) ∈ V,对所有非负的t都成立。

性质

子空间VRn是受控不变子空间,当且仅当AVV + Im B。若V受控不变子空间,则存在矩阵K使得输入u(t) = Kx(t),使状态维持在V以内,这是简单的回授控制(Ghosh 1985,Thm 1.1)。

参考资料

  • Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and conditioned invariant subspaces in linear system theory, Journal of Optimization Theory and Applications, 1969, 3 (5): 306–315, doi:10.1007/BF00931370 .
  • Ghosh, Bijoy K., Controlled invariant and feedback controlled invariant subspaces in the design of a generalized dynamical system, Proceedings of the 24th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE: 872–873, 1985, doi:10.1109/CDC.1985.268620 .
  • Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and Conditioned Invariants in Linear System Theory, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1992 .