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受控不變子空間

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受控不變子空間(controlled invariant subspace)是控制理論的名詞。考慮一個以狀態空間表示的系統,其受控不變子空間為滿足以下條件的子空間英語Euclidean subspace:若系統一開始的初始狀態在此子空間內,有可能控制系統,讓系統始終在此子空間內。此概念是由Giuseppe Basile和Giovanni Marro所提出的(Basile & Marro 1969)。

定義

考慮用以下微分方程表示的線性系統

此處,x(t) ∈ Rn表示系統的狀態,而u(t) ∈ Rp為輸入。矩陣A and B的大小分別是n × nn × p

子空間VRn受控不變子空間,若針對任意x(0) ∈ V, ,都存在一輸入u(t)使得x(t) ∈ V,對所有非負的t都成立。

性質

子空間VRn是受控不變子空間,若且唯若AVV + Im B。若V受控不變子空間,則存在矩陣K使得輸入u(t) = Kx(t),使狀態維持在V以內,這是簡單的回授控制(Ghosh 1985,Thm 1.1)。

參考資料

  • Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and conditioned invariant subspaces in linear system theory, Journal of Optimization Theory and Applications, 1969, 3 (5): 306–315, doi:10.1007/BF00931370 .
  • Ghosh, Bijoy K., Controlled invariant and feedback controlled invariant subspaces in the design of a generalized dynamical system, Proceedings of the 24th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE: 872–873, 1985, doi:10.1109/CDC.1985.268620 .
  • Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and Conditioned Invariants in Linear System Theory, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1992 .