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准周期函数

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在数学上准周期函数(Quasiperiodic function)是指一个函数有类似周期函数的性质[1],但不满足严格的周期函数。更准确的说法,一函数为为 准周期函数,且有准周期

其中是一个比简单的函数,注意此处的“简单”是一个模糊的概念。

函数f(x)=x/+sin(x)满足f(x+2π)=f(x)+1,因此是算术准周期函数

一个简单的例子(有些称为算术准周期)为其函数满足下式;

另一个的例子(有些称为几何准周期)为其函数满足下式;

以下是Θ函数

针对固定的τ,其准周期即为τ,此函数也有另一个周期1。另一个例子是魏尔施特拉斯Σ函数英语Weierstrass sigma function,有二个独立的准周期,也就是对应魏尔斯特拉斯椭圆函数的周期。

符合以下泛函方程式的函数

也是准周期函数,例如针对定值η的魏尔施特拉斯Ζ函数英语Weierstrass zeta function

其中ω为对应魏尔斯特拉斯椭圆函数的周期。

,则f称为周期函数,其周期为ω。.

准周期信号

在音响处理中的准周期信号(Quasiperiodic signals)不是上述定义的准周期函数,而是那些有概周期函数(almost periodic functions)特性的信号,因此无法用数学上的准周期性性质来处理这类的信号。

一个常见的例子为以下函数:

若比值A/B为有理数,此函数有真正的周期,但若A/B是无理数,此函数没有周期,但有渐渐越来越准确的“概周期”。

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参考资料

  1. ^ Mitropolsky, Yu A. Systems of Evolution Equations with Periodic and Quasiperiodic Coefficients. A. M. Samoilenko, D. I. Martinyuk. Dordrecht: Springer Netherlands. 1993: 108. ISBN 978-94-011-2728-8. OCLC 840309575 (英语). 

外部链接