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準週期函數

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在數學上準週期函數(Quasiperiodic function)是指一個函數有類似週期函數的性質[1],但不滿足嚴格的週期函數。更準確的說法,一函數為為 準週期函數,且有準週期

其中是一個比簡單的函數,注意此處的「簡單」是一個模糊的概念。

函數f(x)=x/+sin(x)滿足f(x+2π)=f(x)+1,因此是算術準週期函數

一個簡單的例子(有些稱為算術準週期)為其函數滿足下式;

另一個的例子(有些稱為幾何準週期)為其函數滿足下式;

以下是Θ函數

針對固定的τ,其準週期即為τ,此函數也有另一個週期1。另一個例子是魏爾施特拉斯Σ函數英語Weierstrass sigma function,有二個獨立的準週期,也就是對應魏爾斯特拉斯橢圓函數的週期。

符合以下泛函方程式的函數

也是準週期函數,例如針對定值η的魏爾施特拉斯Ζ函數英語Weierstrass zeta function

其中ω為對應魏爾斯特拉斯橢圓函數的週期。

,則f稱為週期函數,其週期為ω。.

準週期信號

在音響處理中的準週期信號(Quasiperiodic signals)不是上述定義的準週期函數,而是那些有概週期函數(almost periodic functions)特性的信號,因此無法用數學上的準週期性性質來處理這類的信號。

一個常見的例子為以下函數:

若比值A/B為有理數,此函數有真正的週期,但若A/B是無理數,此函數沒有週期,但有漸漸越來越準確的「概週期」。

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參考資料

  1. ^ Mitropolsky, Yu A. Systems of Evolution Equations with Periodic and Quasiperiodic Coefficients. A. M. Samoilenko, D. I. Martinyuk. Dordrecht: Springer Netherlands. 1993: 108. ISBN 978-94-011-2728-8. OCLC 840309575 (英語). 

外部連結