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维基百科,自由的百科全书
在
交换代数
中,
中山引理
是相当有用的一个技术工具。
陈述
它的众多等价陈述之一如下:
引理
(中山正)。设
R
{\displaystyle R}
为含单位元的交换
环
,
I
{\displaystyle I}
为一
理想
,
M
{\displaystyle M}
为有限生成
R
{\displaystyle R}
-
模
。若
I
M
=
M
{\displaystyle IM=M}
,则存在
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
满足
r
≡
1
(
mod
I
)
{\displaystyle r\equiv 1{\pmod {I}}}
且
r
M
=
0
{\displaystyle rM=0}
。
推论
推论一
。在上述条件下,若
I
{\displaystyle I}
包含于
R
{\displaystyle R}
的
Jacobson根
,则必然有
M
=
0
{\displaystyle M=0}
。
推论二
. 若
N
{\displaystyle N}
是
M
{\displaystyle M}
的子模,且存在有限生成的
M
{\displaystyle M}
的子模
N
′
{\displaystyle N'}
及包含于
R
{\displaystyle R}
的
Jacobson根
的理想
I
{\displaystyle I}
,使得
M
=
N
+
I
N
′
{\displaystyle M=N+IN'}
,则
M
=
N
{\displaystyle M=N}
。
文献
Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G(1969).
Introduction to Commutative Algebra.
Addison-Wesley, Reading, MA.
Matsumura H.,
Commutative Algebra
, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.
分类
:
抽象代数定理
交换代数
环论
引理