門空間

在數學中，特別是在拓撲學領域，如果每個子集都是開放的或封閉的（或兩者兼而有之），則拓撲空間被稱為門空間。該術語來自介紹性拓撲助記符，即「子集不像一扇門：它可以是打開的、關閉的、兩者兼而有之，或者兩者都不是」。

屬性和示例

每個門空間都是T ₀ （因為如果$x$和$y$是兩個拓撲上不可區分的點，單點$\{x\}$既不開放也不封閉。

門空間的每個子空間都是門空間。 門空間的每個商也是如此。

集合上每個比門拓撲更精細的拓撲$X$也是一種門拓撲結構。

每一個離散空間都是一個門空間。這是無聚點的空間，即其每個點都是孤立點。

每個空間 𝑋 恰好有一個累積點（並且所有其他點都是孤立的）是一個門空間（因為僅由孤立點組成的子集是開放的，而包含累積點的子集是閉合的）。一些例子是：（1）離散空間（也稱為堡壘空間）的單點緊緻化，其中無窮大處的點是累積點;（2）具有排除點拓撲的空間，其中「排除點」是累積點。

集合上的特定點拓撲給出了具有多個累積點的門空間的示例𝑋 至少有三分。開集是包含特定點的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 連同空集。重點 𝑝 是一個孤立點，所有其他點都是累積點。（這是一個門空間，因為每套都包含𝑝是打開的，每組都不包含𝑝已關閉。另一個例子是具有特定點拓撲和離散空間的空間的拓撲和。

集合上的特定點拓撲給出了具有多個累積點的門空間的示例𝑋 至少有三分。開集是包含特定點的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 連同空集。重點 𝑝 是一個孤立點，所有其他點都是累積點。（這是一個門空間，因為每套都包含𝑝是打開的，每組都不包含𝑝已關閉。另一個例子是具有特定點拓撲和離散空間的空間的拓撲和。

門間距$(X,\tau )$沒有孤立點的正是具有以下形式的拓撲結構$\tau ={\mathcal {U}}\cup \{\emptyset \}$對於一些免費的超濾器${\mathcal {U}}$在$X.$ 這樣的空間必然是無限的。

連通門空間有三種類型$(X,\tau )$ ：

• 具有排除點拓撲的空間；
• 具有包含點拓撲的空間；
• 具有拓撲結構的空間$\tau$使得$\tau \setminus \{\emptyset \}$是免費的超濾器$X.$