雙頭歐拉螺線
羊角螺線
羊角螺線(clothoid),又稱歐拉螺線(Euler spiral),是形式為
![{\displaystyle x=C(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86528408d214c320fa5c44cd41639763a8ba52f6)
![{\displaystyle y=S(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be5a48863b6470eefa32bdec3dd8ae562fff019)
的曲線,其中
、
為 Fresnel積分:
![{\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd10d844ef394141d19bc26d16554545a1253396)
![{\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e8acf0a5bd86189b96f8036d3b9afe33f4d644)
上面參數方程的參數
,也是螺線於該點的曲率:
。
兩個螺線的中心位於
由於此螺線的曲率與長度成正比,故常用於公路工程或鐵路工程,以緩和直路線與圓曲路線之間的曲率變化(向心力變化)。
在光學上,近場繞射(Fresnel繞射)中會應用Fresnel積分。
性質
和
是
的奇函數。
和
是整函數。
- 利用以上的冪級數展開式,可以把Fresnel積分擴展到複數範圍,它是解析函數。Fresnel積分可以用誤差函數來表示:
![{\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6083fb0365d6f0bb15e2fcc7b0925f9b95e3105)
.
和
所定義的積分不能表示為初等函數。當
趨於無窮大時,函數的值為:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e20ac36a763a3f1c641fdfd1b34720589087505)
參見