數學上的線性化 (linearization)是找函數 在特定點的線性近似 ,也就是函數在該點的一階泰勒級數 。在動力系統 研究中,線性化是分析非線性 微分方程 系統或是非線性離散系統,在特定平衡點 局部穩定性 的一種方法[ 1] 。 此方法常應用在工程學 、物理學 、經濟學 及生態學 的應用中。
函數的線性化
函數 的線性化為線性函數 。針對函數
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
,若要用在任意點
x
=
a
{\displaystyle x=a}
下的值及其圖形斜率 來進行近似時,假設
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(或
[
b
,
a
]
{\displaystyle [b,a]}
)區間內可微,且b鄰近a,線性化是可以有效近似的方法。簡單來說,線性化就是在
x
=
a
{\displaystyle x=a}
點附近,以直線來近似函數的值。例如
4
=
2
{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}
,那麼針對
4.001
=
4
+
.001
{\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}
,利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。
針對任意函數
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在已知可微分點附近的位置,都可以被近似。最基本的要求是
L
a
(
a
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}
,其中
L
a
(
x
)
{\displaystyle L_{a}(x)}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
x
=
a
{\displaystyle x=a}
的線性化。一次方程 的圖形會形成直線,例如通過點
(
H
,
K
)
{\displaystyle (H,K)}
,斜率為
M
{\displaystyle M}
為直線。方程式的一般形為
y
−
K
=
M
(
x
−
H
)
{\displaystyle y-K=M(x-H)}
。
若是配合點
(
a
,
f
(
a
)
)
{\displaystyle (a,f(a))}
,
L
a
(
x
)
{\displaystyle L_{a}(x)}
即變成
y
=
f
(
a
)
+
M
(
x
−
a
)
{\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}
。因為可微分函數是局部線性 ,該點的斜率可以用
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在點
x
=
a
{\displaystyle x=a}
切線的斜率來代替。
函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近 點
x
=
a
{\displaystyle x=a}
,相對來說比較接近的點,其線性近似的效果也會比較好。斜率
M
{\displaystyle M}
最準確的值會是在
x
=
a
{\displaystyle x=a}
點的切線斜率。
f(x)=x^2在(x , f (x ))的近似值
旁邊的圖可以說明
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在點
x
{\displaystyle x}
的切線。在
f
(
x
+
h
)
{\displaystyle f(x+h)}
位置,其中
h
{\displaystyle h}
是小的正值或是負值,
f
(
x
+
h
)
{\displaystyle f(x+h)}
非常接近
(
x
+
h
,
L
(
x
+
h
)
)
{\displaystyle (x+h,L(x+h))}
點的切線。
函數在點
x
=
a
{\displaystyle x=a}
線性化的最終方程為:
y
=
(
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
)
{\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))}
針對
x
=
a
{\displaystyle x=a}
,
f
(
a
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(a)=f(x)}
。函數
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的導數為
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
,而函數
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在點
a
{\displaystyle a}
的斜率為
f
′
(
a
)
{\displaystyle f'(a)}
。
例子
若要找
4.001
{\displaystyle {\sqrt {4.001}}}
,可以用
4
=
2
{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}
的資訊。函數
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
在點
x
=
a
{\displaystyle x=a}
的線性化為
y
=
a
+
1
2
a
(
x
−
a
)
{\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}
,因為函數
f
′
(
x
)
=
1
2
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
定義了函數
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
在點
x
{\displaystyle x}
的斜率。
代入
a
=
4
{\displaystyle a=4}
,其線性化結果為
y
=
2
+
x
−
4
4
{\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}
。
針對
x
=
4.001
{\displaystyle x=4.001}
的例子,可得
4.001
{\displaystyle {\sqrt {4.001}}}
近似
2
+
4.001
−
4
4
=
2.00025
{\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}
。其實際值為2.00024998,非常接近,此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。
多變數函數的線性化
函數
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
在點
p
(
a
,
b
)
{\displaystyle p(a,b)}
線性化的方程式為:
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
∂
f
(
x
,
y
)
∂
x
|
a
,
b
(
x
−
a
)
+
∂
f
(
x
,
y
)
∂
y
|
a
,
b
(
y
−
b
)
{\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)}
多變數函數
f
(
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
在點
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
線性化的通式為
f
(
x
)
≈
f
(
p
)
+
∇
f
|
p
⋅
(
x
−
p
)
{\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}
其中
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
是變數向量,而
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
是要線性化的點[ 2] 。
線性化的應用
配合線性化的技術,可以用研究線性系統 的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒級數 的一階展開。針對以下的系統
d
x
d
t
=
F
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}
,
其線性化系統為
d
x
d
t
≈
F
(
x
0
,
t
)
+
D
F
(
x
0
,
t
)
⋅
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}
其中
x
0
{\displaystyle \mathbf {x_{0}} }
是要觀測的特定點,而
D
F
(
x
0
)
{\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )}
是
F
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}
在點
x
0
{\displaystyle \mathbf {x_{0}} }
所計算的雅可比矩陣 。
穩定性分析
在自治系統 的穩定性 分析中,可以用在雙曲平衡點 計算雅可比矩陣 的特徵值 來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論 的內容。若是時變系統,其線性化需要考量其他的因素[ 3] 。
微觀經濟學
在微觀經濟學 中,決策規則 可以用狀態空間下線性化的作法來近似[ 4] 。若以此方式分析,效用最大化 的歐拉方程 可以在平穩穩態附近進行線性化[ 4] 。所得動態方程的系統的唯一解即為其解[ 4] 。
最佳化
在最優化 中,成本函數以及非線性成份都可以線性化,以使用一些線性的求解方式(例如單純形法 )。最佳化的結果可以更有效率的產生,而且是決定性的全域極值 。
多物理場
在多物理場 系統(系統中有多個不同物理領域的模型,彼此互相影響)中,可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統,可以用monolithic的迭代來求解(例如牛頓法 )。這類的例子包括MRI scanner 系統,包括了電磁系統、力學系統及聲學系統[ 5]
相關條目
參考資料
^ The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia . [2020-04-10 ] . (原始內容存檔 於2018-07-04).
^ Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering 互聯網檔案館 的存檔 ,存檔日期2010-06-07.
^ Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V. Time-Varying Linearization and the Perron effects. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007, 17 (4): 1079–1107. doi:10.1142/S0218127407017732 .
^ 4.0 4.1 4.2 Moffatt, Mike. (2008) Dotdash State-Space Approach (頁面存檔備份 ,存於互聯網檔案館 ) Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.
^ Bagwell, S.; Ledger, P. D.; Gil, A. J.; Mallett, M.; Kruip, M. A linearised hp –finite element framework for acousto-magneto-mechanical coupling in axisymmetric MRI scanners. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2017, 112 (10): 1323–1352. doi:10.1002/nme.5559 .
外部連結