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相伴數列定理

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數學中,相伴數列定理涉及實數列,它指出相伴數列收斂於同一極限

定義

如果兩個實數列 () 和 () 一個單調遞增無上界,一個單調遞減無下界,且二者的差值趨近於0,那麼稱這兩個實數列是相伴數列

先假設數列 () 是單調遞增的,數列 () 是單調遞減的。

注意到
[1];特別的,

敘述

相伴數列定理 — 假設 是一對相伴數列,那麼它們收斂於同一極限 ∈ ℝ。

此外,令 單調遞增, 單調遞減,那麼 ,

這個定理可以以如下方式證明:[1]在實數域中,單增有上界的數列必然收斂,這是由最小上界性(非空有上界的實數集必有上確界)給出的。因此,如果在有理數集中尋找有理極限,這個定理不成立。

甚至可以證明,這一性質與上確界性等價(見條目實數的構造法語Construction des nombres réels#Équivalence des deux constructions)。與單增有上界的數列的性質相比,其優勢不僅僅在於證明了數列的收斂性,更在於提供了一個想要的框架。

證明

單調遞增,單調遞減,則可以得到單調遞增

二者的差值趨近於0,於是有, 所以

又因為單調遞增,單調遞減,

單調收斂定理,可以知道極限必然存在

極限的四則運算

應用

在所有使用二分法的問題中,在實數的十進制展開中,在連分數的書寫中以及求積問題(圓的求積、拋物線的求積)問題中,都可以找到相伴數列定理的存在。

兩個數列 () 和 () 是相伴數列,若且唯若由 定義的數列 () 符號恆定、絕對值嚴格單調遞減且趨近於零;換言之,當通項為 的數列滿足交錯級數的收斂原則時,兩個數列 () 和 () 是相伴數列。因此,萊布尼茨關於這種特殊的交錯級數的審斂法等價於相伴數列定理。

註釋

  1. ^ 1.0 1.1 參見法語維基學院關於相伴數列頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)的描述

參見