任意的有界非空实数集都有一个最小上界。 数学 中，最小上界性 （亦称上确界性 ，英語：least-upper bound property, LUB ）[ 1] 实数集 和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性 等价[ 2] X 当且仅当 X 上界 的非空子集 有最小上界 (上确界)。
令
S
{\displaystyle S}
實數集 的一個非空子集。
如果實數
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
上界
如果實數
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
最小上界 。 最小上界性 的表述為
所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。
對任意偏序集合
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
此處最小上界性的表述為
所有具有上界的
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
有理數集 并沒有最小上界性，考慮其子集
{
x
∈
Q
|
x
2
<
2
}
=
Q
∩
(
−
2
,
2
)
{\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}=\mathbb {Q} \cap (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})}
它有在有理數集中的上界（例如2），但它的最小上界
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
最小上界性可以用來證明許多實分析 中的主要定理
^ Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)
^ Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)
