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浸沒 (數學)

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數學中,浸沒(submersion)是微分流形之間的可微映射,其微分處處為滿射。這是微分拓撲中的一個基本概念。浸沒與浸入對偶。

定義

MN微分流形是它們間的可微映射。映射f處的浸沒,若其微分

線性滿射[1]這種情況下,p被稱作映射f正則點(regular point);否則,p就是臨界點。若原像中所有的點p都是正則點,則點f正則值。在每點上都是浸沒的可微映射f也稱作浸沒,等價地,若f的微分等於N的維度,則f是浸沒。

需要注意:有人用「臨界點」描述f雅可比矩陣不取最大值的點。[2]這在奇異理論中是更有用的概念。若M的維度不小於N的維度,則這兩個臨界點的概念是重合的;但若M的維度小於N的維度,則據上述定義,所有點都是臨界點(微分不可能是滿射),而雅可比矩陣的秩仍可能是最大的(若等於M的維度)。上述定義更常用,如在薩德定理的表述中。

浸沒定理

給定m維、n維光滑流形之間的浸沒,有圍繞xM滿射(chart)、圍繞N,使得f限制到浸沒,用坐標表示為,就變為普通的正交投影。應用中,f對應的纖維表示為,可配備M的光滑子流形結構,其維度等於NM維度之差。

該定理是反函數定理的結果(見反函數定理#流形)。

例如,考慮給出。雅各比矩陣是

除原點外,這在每一點都有最大秩。另外,纖維

時是空集時等於一個點。因此,我們只有一個光滑浸沒與子集時的2維光滑流形。

示例

  • 任何投影
  • 局部微分同胚
  • 黎曼浸沒
  • 光滑向量叢或更一般的光滑纖維化中的投影。微分的滿射性是局部平凡化存在的必要條件。

球面之間的映射

浸沒的一大類例子是高維球面之間的浸沒,例如

其纖維維度為n,這是因為纖維(元素的反像)是n維光滑流形。那麼,若取路徑

並取拉回

就得到了一種特殊的協邊的例子,稱作有框架協邊。實際上,有框協邊群與穩定同倫群密切相關。

代數簇族

另一大類浸沒由代數簇給出,其纖維是光滑代數簇。若考慮其底流形,則得到光滑流形。例如橢圓曲線的魏爾施特拉斯族是被廣泛研究的浸沒,因為其包含了許多用於展示更複雜理論的技術,如交同調錯致層。這一族來自

其中是仿射線,是仿射平面。由於考慮的是復簇,它們等價於複線與複平面。注意我們實際上應該去掉,因為那裏有奇點(有雙根)。

局部正規形式

p處的浸沒,,則在M中存在p開鄰域U、在N中存在q的開鄰域V,在p處有局部坐標,在q處有局部坐標,使得,且在這些局部坐標中的映射f是標準投影

可知,在可微映射的作用下,N中的正則值qM中的全原像要麼是空的,要麼是維微分流形,但可能不連通。這是正則值定理的內容(也叫浸沒定理)。尤其是,若f是浸沒,則,結論都成立。

拓撲流形的浸沒

一般拓撲流形的浸沒也是良定義的。[3]拓撲流形浸沒是連續滿射,使得,對p上的某連續圖ψ、f(p)處的φ,映射等於射影映射)。

另見

腳註

  1. ^ Crampin & Pirani 1994,第243頁. do Carmo 1994,第185頁. Frankel 1997,第181頁. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004,第12頁. Kosinski 2007,第27頁. Lang 1999,第27頁. Sternberg 2012,第378頁.
  2. ^ Arnold, Gusein-Zade & Varchenko 1985.
  3. ^ Lang 1999,第27頁.

參考文獻

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