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浸没 (数学)

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数学中,浸没(submersion)是微分流形之间的可微映射,其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。

定义

MN微分流形是它们间的可微映射。映射f处的浸没,若其微分

线性满射[1]这种情况下,p被称作映射f正则点(regular point);否则,p就是临界点。若原像中所有的点p都是正则点,则点f正则值。在每点上都是浸没的可微映射f也称作浸没,等价地,若f的微分等于N的维度,则f是浸没。

需要注意:有人用“临界点”描述f雅可比矩阵不取最大值的点。[2]这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度,则这两个临界点的概念是重合的;但若M的维度小于N的维度,则据上述定义,所有点都是临界点(微分不可能是满射),而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的(若等于M的维度)。上述定义更常用,如在萨德定理的表述中。

浸没定理

给定m维、n维光滑流形之间的浸没,有围绕xM满射(chart)、围绕N,使得f限制到浸没,用坐标表示为,就变为普通的正交投影。应用中,f对应的纤维表示为,可配备M的光滑子流形结构,其维度等于NM维度之差。

该定理是反函数定理的结果(见反函数定理#流形)。

例如,考虑给出。雅各比矩阵是

除原点外,这在每一点都有最大秩。另外,纤维

时是空集时等于一个点。因此,我们只有一个光滑浸没与子集时的2维光滑流形。

示例

  • 任何投影
  • 局部微分同胚
  • 黎曼浸没
  • 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。

球面之间的映射

浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没,例如

其纤维维度为n,这是因为纤维(元素的反像)是n维光滑流形。那么,若取路径

并取拉回

就得到了一种特殊的协边的例子,称作有框架协边。实际上,有框协边群与稳定同伦群密切相关。

代数簇族

另一大类浸没由代数簇给出,其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形,则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族是被广泛研究的浸没,因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术,如交同调错致层。这一族来自

其中是仿射线,是仿射平面。由于考虑的是复簇,它们等价于复线与复平面。注意我们实际上应该去掉,因为那里有奇点(有双根)。

局部正规形式

p处的浸没,,则在M中存在p开邻域U、在N中存在q的开邻域V,在p处有局部坐标,在q处有局部坐标,使得,且在这些局部坐标中的映射f是标准投影

可知,在可微映射的作用下,N中的正则值qM中的全原像要么是空的,要么是维微分流形,但可能不连通。这是正则值定理的内容(也叫浸没定理)。尤其是,若f是浸没,则,结论都成立。

拓扑流形的浸没

一般拓扑流形的浸没也是良定义的。[3]拓扑流形浸没是连续满射,使得,对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ,映射等于射影映射)。

另见

脚注

  1. ^ Crampin & Pirani 1994,第243页. do Carmo 1994,第185页. Frankel 1997,第181页. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004,第12页. Kosinski 2007,第27页. Lang 1999,第27页. Sternberg 2012,第378页.
  2. ^ Arnold, Gusein-Zade & Varchenko 1985.
  3. ^ Lang 1999,第27页.

参考文献

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