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普遍化

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普遍化(generalization)是數理邏輯裏一條極為常用的規則,直觀來說,這條規則在滿足一條件下,可以將原合式公式推廣成被全稱量化的版本。

視為元定理

謂詞演算裏,以下的元定理

元定理 —  裏變數 都完全被約束,若

則有

就是一般所稱的普遍化

視為推理規則

普遍化可以視為謂詞演算的一條推理規則,也就是說:( 以下的 為任意變數, 為任意合式公式

可以推出

也可以用相繼式表記為

但這個推理規則會嚴苛地限制演繹定理的適用範圍,如

不成立,因為無法確定變數 有沒有完全被約束(參見上面元定理一節)。這就破壞了元語言的"十字旋轉門"「 」跟邏輯語言的「」間的聯繫。也就是說,直觀上「 以合式公式為前提,根據推理規則和公理可以推出合式公式」跟「根據推理規則和公理可以推出合式公式」是等價的,但將普遍化視為推理規則就不免打破這個直觀聯繫。

證明的例子

以下的證明是基於將普遍化視為推理規則

證明:

編號 公式 理由
1 假設
2 假設
3 公理 PRED-1
4 從 (1) 和 (3) 通過肯定前件
5 公理 PRED-1
6 從 (2) 和 (5) 通過肯定前件
7 從 (6) 和 (4) 通過肯定前件
8 從 (7) 通過普遍化
9 總結 (1) 到 (8)
10 從 (9) 通過演繹定理
11 從 (10) 通過演繹定理

步驟(10)中,因為 完全被約束,所以可以套用演繹定裏,步驟(11)也是基於類似的理由。