普遍化

普遍化（generalization）是數理邏輯裏一條極為常用的規則，直觀來說，這條規則在滿足一條件下，可以將原合式公式推廣成被全稱量化的版本。

視為元定理

元定理 — 在 ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}$ 裏變數 $x$ 都完全被約束，若

{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash {\mathcal {B}}

則有

{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash (\forall x){\mathcal {B}}

就是一般所稱的普遍化。

普遍化可以視為謂詞演算的一條推理規則，也就是說：（以下的 $x$ 為任意變數， ${\mathcal {A}}$ 為任意合式公式）

{\mathcal {A}}

可以推出

\forall x{\mathcal {A}}

。

也可以用相繼式表記為

{\mathcal {A}}\vdash \forall x{\mathcal {A}}

但這個推理規則會嚴苛地限制演繹定理的適用範圍，如

\vdash P(x)\Rightarrow \forall xP(x)

不成立，因為無法確定變數 $x$ 在 $P(x)$ 有沒有完全被約束（參見上面元定理一節）。這就破壞了元語言的＂十字旋轉門＂「 $\vdash$ 」跟邏輯語言的「 $\Rightarrow$ 」間的聯繫。也就是說，直觀上「以合式公式 ${\mathcal {A}}$ 為前提，根據推理規則和公理可以推出合式公式 ${\mathcal {B}}$ 」跟「根據推理規則和公理可以推出合式公式 ${\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}$ 」是等價的，但將普遍化視為推理規則就不免打破這個直觀聯繫。

以下的證明是基於將普遍化視為推理規則 。

$\vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]$

證明：

編號	公式	理由
1	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]$	假設
2	$\forall xP(x)$	假設
3	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [P(x)\Rightarrow Q(x)]$	公理 PRED-1
4	$P(x)\Rightarrow Q(x)$	從 (1) 和 (3) 通過肯定前件
5	$\forall xP(x)\Rightarrow P(x)$	公理 PRED-1
6	$P(x)\$	從 (2) 和 (5) 通過肯定前件
7	$Q(x)\$	從 (6) 和 (4) 通過肯定前件
8	$\forall xQ(x)$	從 (7) 通過普遍化
9	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)],\,\forall xP(x)\vdash \forall xQ(x)$	總結 (1) 到 (8)
10	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\vdash \forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)$	從 (9) 通過演繹定理
11	$\vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]$	從 (10) 通過演繹定理

步驟(10)中，因為 $\forall xP(x)$ 裏 $x$ 完全被約束，所以可以套用演繹定裏，步驟(11)也是基於類似的理由。