本文介紹外代數中的運算。關於其他常稱作
內積的相關二元運算,參見
內積。
在數學中,內乘(英語:interior product,或譯內積)是光滑流形上的微分形式外代數上一個次數為 −1 導子,定義為微分形式與一個向量場的縮並。從而如果 X 是流形 M 上一個向量場,那麼
![{\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3730939b412b118b52737a42016646f1f44cbcae)
是將一個 p-形式 ω 映為 (p−1)-形式 iXω,由性質
![{\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795e7a6d2e62744223a7863f234cc6437a15e97d)
所定義,對任何向量場 X1,..., Xp−1。本質上來說,內乘可以定義在向量空間與外代數上,即只與流形的一點有關。
內乘也稱為內乘法(interior 或 inner multiplication),或內導數(inner derivative 或 derivation)。
一些作者使用字母
代替
;內乘有時也寫成
或者
。
性質
由反對稱性
![{\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcfbfa51d99375192dde1b0f6ea067703c74e63)
所以
。
因為李導數與縮並可以交換,故:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )=\iota _{[X,Y]}\omega +\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85ac26b2b205f4c4e673f063d1b86b50a1ca480)
這便得出兩個向量李括號的內乘公式:
![{\displaystyle \iota _{[X,Y]}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53e758d70e9612b48fae7a5dec2501bac643cf2)
內乘與微分形式的外導數以及李導數的關係由嘉當恆等式給出:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (\iota _{X}\omega )+\iota _{X}\mathrm {d} \omega \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98999479b917dfcab81ec7cd0ac15e350037aac)
這個等式在辛幾何中非常重要:參見矩映射。
另見