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陳類

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數學上,特別是在代數拓撲微分幾何中,陳類(英語:Chern class,或稱陳氏類)是一類複向量叢示性類,類比於斯蒂弗爾-惠特尼類英語Stiefel-Whitney class作為實向量叢示性類

陳類因陳省身而得名,他在1940年代第一個給出了它們的一般定義。

定義

給定一個拓撲空間X上的一個複向量叢E, E的陳類是一系列X餘調的元素。Ek個陳類通常記為ck(E),是X整數系數的餘調群H2k(X;Z)中的一個元素,並且滿足如下公理:

公理1. 對於任何

公理2. 自然性:如果是一個複向量叢是一個連續映射拉回的向量叢,那麼對任意k,

公理3. 惠特尼求和公式:如果是兩個複向量叢,那麼它們的直和的陳類是

公理4. 如果是複射影直線上的超平面叢,那麼龐加萊對偶

陳數

任何陳類的積分是一個整數,叫陳數,有時候給卷繞數

在物理學中,陳數有很多應用。例如第一陳數

描述阿哈羅諾夫-玻姆效應。第二陳數描述一種流形邊界的陳-西蒙斯理論

在物理學中,這有時候被叫做theta term,描述Witten效應、瞬子(第三同倫類)、軸子Dyon英語Dyon等等。

其中的YM楊-米爾斯作用量

陳-西蒙斯理論

陳-西蒙斯形式跟陳類有關:

陳示性

若F是曲率形式,陳示性是

而且

比方說,若V是U(1)主叢(阿貝爾規範

等價定義

同時,有很多處理這個定義的辦法:陳省身最初使用了微分幾何;在代數拓撲中,陳類是通過同倫理論定義的,該理論提供了把E和一個分類空間(在這個情況下是格拉斯曼流形聯繫起來的映射);還有亞歷山大·格羅滕迪克的一種辦法,表明公理上只需定義線叢的情況就夠了。陳類也自然的出現在代數幾何中。

直觀地說,陳類和向量叢的截面"所需要的0"的個數相關。

殆複流形的陳類和配邊

陳類的理論導致了殆複流形配邊不變量的研究。

M是一個複流形,則其切線束是一個複向量叢。M陳類定義為其切線束的陳類。若M的2d維的,則每個陳類中的2d單項式可以和M基本類配對,得到一個整數,稱為M的。

M′是另一個同維度的近複流形,則它和M配邊,當且僅當M′和M陳數相同.

推廣

陳類理論有個一般化,其中普通的餘調由一個廣義餘調群理論所代替。使得這種一般化成為可能的稱為複可定向的理論。陳類的形式化屬性依然相同,但有一個關鍵的不同:計算線叢的張量積的第一陳類的規則不是各個因子的(普通)加法而是一個形式化群法則formal group law)。

應用

物理學

參考文獻