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積空間

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拓撲學的相關領域中,積空間是指一族拓撲空間笛卡兒積與其配備的自然拓撲結構,這個自然拓撲結構被稱為積拓撲(英語:Product topology)。

無窮積空間

直觀動機上,一族拓撲空間笛卡兒積,最「自然」的拓撲,應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲;換句話說,設有集合族 ,具有指標集 與指標函數

且有相應的一族拓撲 與指標函數

就是無窮乘積 滿足需求的那個拓撲,那對於任意指標 ,以下的第 投影映射:

必須對所有開集 須滿足:

也就是說, 必須 - 連續

首先從 的定義,對任意 有:

那如果取個一對一函數 滿足:

那以上的要求就可以寫為:

也就是除了 取小開集,其他都選全集的無窮乘積,應該也要是 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 ,應該是包含:

最粗拓撲,總結如下:

定義 — 設有集合族 ,具有指標集 與指標函數

且有相應的一族拓撲 與指標函數

取:

那在 上包含 最粗拓撲 被稱為 積拓撲,而 被稱為相應的積空間

有限積空間

如果指標集為有限,則積拓撲有更簡單的表述;這是因為可以免除用函數定義無窮乘積的迂迴途徑,而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限積拓撲

都是拓撲空間,若對任意自然數指標 來說,以下的投影映射

對於 上的「自然拓撲 ,取任意開集 應滿足:

也就是說, 都應 - 連續。那從 的定義,對任意 有:

換句話說,這個「自然拓撲」必須滿足:

那稍微推廣一下,對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列

要求:

那因為 (母集合當然是開集合),這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件;反過來,因為:

所以根據開集的有限交集也是開集的性質,「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述,可以作如下的定義:

定義 —  都是拓撲空間,取:

那在 上包含 最粗拓撲 被稱為 有限積拓撲,而 被稱為相應的有限積空間

例子

實直線R上的標準拓撲開始,定義nR的乘積,就得到普通的Rn上的歐幾里得拓撲

康托爾集同胚可數離散空間{0,1}的乘積而無理數的空間同胚於可數個自然數集的乘積,每個集合也是採用離散拓撲。

性質

如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基,則集合積 B1 × B2 × ... × Bn乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用,除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘積空間X加上標準投影,可以用如下的泛性質來刻劃:若Y是拓撲空間,並且對於每個I中的ifi : YXi是一個連續映射,則存在恰好一個連續映射f : YX滿足對於每個I中的i如下交換圖成立:

乘積空間的特性
乘積空間的特性

這表明乘積空間是拓撲空間範疇中的。從上述泛性質可以得出映射f : YX連續若且唯若fi = pi o f對於所有I中的i連續。在很多情況下,檢查分量函數fi的連續性更為方便。檢驗映射f : YX是否連續通常更難;可以試着用某種方式利用pi連續這一點。

除了連續,標準投影pi : XXi也是開映射。這表示每個積空間的開子集投影到Xi上還是開集。反過來不真:若W是到所有Xi的投影都是開集的積空間的子空間,則W不一定是X中的開集。(例如,W = R2 \ (0,1)2.)標準投影通常不是閉映射

積拓撲有時稱為點式收斂拓撲,因為:X上的一個序列 (或者)收斂若且唯若它所有到Xi的投影收斂。特別是,如果考慮所有在空間X = RI 對於所有I上的函數,在積拓撲上的收斂就是函數的點式收斂。

積拓撲的一個重要定理就是吉洪諾夫定理:任何緊緻空間的乘積是緊緻的。對於有限乘積很容易證明,而其一般情況等價於選擇公理

和其它拓撲概念的聯繫

每個"局部看起來"一個標準投影F × UU的空間稱為纖維叢

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