朱世傑恆等式是組合數的一階求和公式。元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》中,利用垛積術、招差術給出:
[1],
或以
代
再與上式作差,寫成:
。
證明
遞歸方法
欲證
,
可以反覆使用帕斯卡法則合併左式首兩項。
組合方法
從
元集
選
個元素,有
種方法。
必有
時,在
個元素中選
個元素,排除
,必有
時,在
個元素中選
個元素,排除
,如此類推,直到必有
時,在
個元素中選
個元素。
[2]
應用
朱世傑恆等式可應用於等冪求和問題。例如:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}{\binom {i}{1}}={\binom {n+1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef1977dcca82d3d2f9129436138b38ffc0ea554)
[3]
參考資料
- ^ 羅見今. 朱世傑—范德蒙公式的發展簡介. 數學傳播 (中央研究院數學研究所). 2008-12, 32 (4 (128)) [2022-11-23]. (原始內容存檔於2023-02-01).
- ^ 伍啟期. 组合数列求和. 佛山科學技術學院學報(自然科學版). 1996, (4) [2014-05-24]. (原始內容存檔於2019-05-02).
- ^ 田達武. 朱世杰恒等式及其应用. 數學教學通訊. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始內容存檔於2020-01-15).