朱世杰恒等式是组合数的一阶求和公式。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》中,利用垛积术、招差术给出:
[1],
或以
代
再与上式作差,写成:
。
证明
递归方法
欲证
,
可以反复使用帕斯卡法则合并左式首两项。
组合方法
从
元集
选
个元素,有
种方法。
必有
时,在
个元素中选
个元素,排除
,必有
时,在
个元素中选
个元素,排除
,如此类推,直到必有
时,在
个元素中选
个元素。
[2]
应用
朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}{\binom {i}{1}}={\binom {n+1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef1977dcca82d3d2f9129436138b38ffc0ea554)
[3]
参考资料
- ^ 罗见今. 朱世傑—范德蒙公式的發展簡介. 数学传播 (中央研究院数学研究所). 2008-12, 32 (4 (128)) [2022-11-23]. (原始内容存档于2023-02-01).
- ^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2014-05-24]. (原始内容存档于2019-05-02).
- ^ 田达武. 朱世杰恒等式及其应用. 数学教学通讯. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始内容存档于2020-01-15).