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札克變換

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數學中,札克變換[1] [2] (英文:Zak Transform,也稱蓋爾范德映射)是一種變換,輸入是一個一元函數,輸出是一個二元函數。輸出函數稱為輸入函數的札克變換。該變換以無窮級數定義,其中每一項都是該函數的特定取值和復指數函數的乘積。在信號處理中,札克變換的輸入為時域信號,輸出是該信號的混合表示。輸入信號取值可為實值復值,可定義在連續集(如全體實數)或離散集(如整數或整數的子集)上。札克變換是離散時間傅立葉變換的推廣。 [1] [2]

札克變換在不同領域被多人獨立發現,各自命名。伊斯拉埃爾·蓋爾范德在其關於特徵函數的工作中首次引入了這一變換,因而其也被稱為蓋爾范德映射。1967年,約書亞·札克獨立地重新發現了這一變換,稱之為「k-q表示」。本領域工作者普遍稱這一變換為札克變換,因為札克首先意識到了它的應用前景,並在更一般的情況下,對其進行了更系統的研究。[1][2]

連續時間札克變換:定義

在連續時間札克變換中,假定輸入函數為實變函數,設 為實變量t的函數, 的連續時間札克變換結果為一個二元函數,其中一個變量是t ,另一個變量用w表示,可由如下多種方式定義:

定義1

a為大於0的常數,的連續時間札克變換可定義如下:[1]

定義2

在定義1中,有時取a = 1。[2] 在這種情況下,的連續時間札克變換可以簡化為:

定義3

有時,連續時間札克變換可由定義1簡化為不同於定義2的另一種形式。在這種形式下, 的連續時間札克變換為:

定義4

T為為大於0的常數。 的連續時間札克變換也可由下式定義:[2]

此時,tw滿足:,

示例

試求如下函數的札克變換:

解:

其中表示不小於的最小整數(ceil函數)。

札克變換的性質

以下討論中的札克變換均採用定義二:

1.線性

ab為任意複數,則:

2.周期性

3.准周期性

4.共軛性

5.對偶性

是偶函數,則:
是奇函數,則:

6.卷積性

表示對變量t卷積

逆變換公式

給定函數的札克變換,原函數可用下式計算:

離散札克變換:定義

是一個定義在整數域上的函數,即自變量n是一個整數,滿足 。與連續時間札克變換相同,的離散札克變換同樣是一個二元函數,其中一個自變量是 ,另一個變量是一個實數,表示為 ;離散札克變換同樣有不同的定義,下面給出其中一種定義方式:

定義

函數的離散札克變換,記為,由下式定義,其中是一個整數:

逆變換公式

給定函數的離散札克變換 ,原函數可用下式計算:

應用

札克變換在物理學中的量子場論[3]電氣工程中信號的時頻表示與數字通信中均有應用。

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Zak transform. Encyclopedia of Mathematics. [15 December 2014]. (原始內容存檔於2014-12-19). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Alexander D. Poularikas (編). Transforms and Applications Handbook 3rd. CRC Press. 2010: 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4. 
  3. ^ J. Klauder, B.S. Skagerstam. Coherent States. World Scientific. 1985.