实变函数论

實分析，也称为實數分析、实变函数论（英語：Real analysis、英語：Theory of functions of a real variable），是處理實數及实函数的數學分析。專門研究實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性、光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。

內容

實數的構造

有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理，將實數變成完備有序域。在一般集合论的公理下，可以證明這些公理都是明確的，也就是說有一個公理的模型，任兩個模型都是同构的。這些模型中需要有一個有明確的定義，而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

實數的有序性

實數有許多重要的特性是和數學中格的定義有關，這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是，實數形成有序域，實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性，屬於全序关系，而且實數有最小上界性。實數中的偏序关系帶來了實變分析中許多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在實變分析中這些定理只針對實數，不過許多的結果可以應用在其他的数学对象。特別是許多泛函分析及算子理論（英语：operator theory）中的概念是來自實數中概念的擴展，這類的擴展包括里斯空間（英语：Riesz space）及正算子（英语：positive operator）的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部，例如算子數列的逐點評估（英语：strong operator topology）。

序列

序列是一個定義域為可數全序集合的函数，多半會讓定義域是自然數或是所有整數^[1]。例如，一個實數的序列為以下定義的映射 $a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a_{n}$ ，常會表示為 $(a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )$ 。若一序列會慢慢的接近一個极限（也就是存在 ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ），稱此序列為收斂，否則則稱此序列為發散。

極限

極限是指函数或序列在其輸入接近一定值時，其輸出數值所接近的特定定值^[2]。極限是微积分学及廣義数学分析的基礎，連續函數、导数及积分也是利用極限來定義。

連續函數

若函数的輸入及輸出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略來說，若函数图形是一條連續未分割的曲线，其中沒有「洞」或是「斷點」，函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義，在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等价的，因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續，在以下的定義中

f\colon I\rightarrow \mathbf {R} .

是一個定義在實數 ${\boldsymbol {R}}$ 以內子集的函數，子集 $I$ 稱為函數 $f$ 的定義域。子集 $I$ 的一些可能選擇包括 $I={\boldsymbol {R}}$ （所有實數）、以下的開區間

I=(a,b)=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a<x<b\},

或閉區間

I=[a,b]=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.

因此 $a$ 及 $b$ 是實數。

一致连续是連續函數中，比連續函數更強的性質。若X和Y是實數子集，函數 $f:X\rightarrow Y$ 為一致连续的條件是針對所有大於0的實數 $\varepsilon$ ，存在一實數 $\delta >0$ ，使得針對所有的 $x,y\in X,\left\vert x-y\right\vert <\delta$ 即表示 $\implies \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\varepsilon$ 。

一致连续和每一點連续的差異在一致连续時， $\delta$ 值只和 $\varepsilon$ 值有關，和該值在定義域中的位置無關。一般情況下，連續不意味著均勻連續。

級數

給定一無窮序列 $(a_{n})$ ，即可定義相關的級數為 ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$ ，有時會簡稱為 ${\textstyle \sum a_{n}}$ 。級數的部份和 ${\textstyle \sum a_{n}}$ 為 ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ 。級數 ${\textstyle \sum a_{n}}$ 收斂的條件是部份和的數列 $(s_{n})$ 收斂，否則級數即稱為發散。收斂級數的和 ${\textstyle s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 定義為 ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$ .

等比数列的和就是一個收斂級數，也是芝诺悖论的基礎：

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1

.

以下的調和級數即為發散級數：

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty

.

（此處“ $=\infty$ ”不是嚴謹的表示方式，只是表示部份和會無限制地増長）

微分

函數 $f$ 在 $a$ 位置的導數為以下的函數極限

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

若導數在所有位置都存在，稱函數為可微分，可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類 $C^{0}$ 包括所有連續函數，分類 $C^{1}$ 包括所有導數連續的可微函数，這類函數稱為「連續可微」。分類 $C^{1}$ 是指其導數在分類 $C^{1}$ 中的函數。一般來說，分類 $C^{k}$ 可以用递归方式定義，定義方式是宣告分類 $C^{0}$ 是所有的連續函數，而分類 $C^{k}$ （ $k$ 為正整數）是所有可微，而且其導數為 $C^{k-1}$ 的函數。而分類 $C^{k}$ 包括在分類 $C^{k-1}$ 中，對所有的正整數 $k$ 都成立。分類 $C^{\infty }$ 是所有 $C^{k}$ 的交集，其中 $k$ 為所有的非負整數。 $C^{\omega }$ 包括所有的解析函数，是分類 $C^{\infty }$ 的嚴格子集。

積分

黎曼積分

黎曼積分定義函數的黎曼和，對應為一個區間內的標記分區（tagged partitions）。令 $[a,b]$ 為實數下的封閉區間，則在區間 $[a,b]$ 內的標記分區為有限數列

a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!

將區間 $[a,b]$ 分隔為 $n$ 個下標為 $i$ 子區間 $[x_{i-1},x_{i}]$ ，每一個用不同的點 $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ 來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};

則和的每一項都是長方形的面積，其高為函數在給定子區間內，標示點的數值，寬和子區間的寬相等。令 $\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$ 為子區間 $i$ 的寬，則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度 $\mathrm {max} _{i=1\ldots n}\Delta _{i}$ 。函數 $f$ 在區間 $[a,b]$ 內的黎曼積分等於 $S$ 若：

對所有

\varepsilon >0

，存在

\delta >0

使得，對於任何有標示，且網格小於

\delta

的區間

[a,b]

，以下的式子成立

\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .

若選定的標示都是每個區間內函數的最大值（或最小值），黎曼積分就會成為上（或下）达布和，因此黎曼積分和达布积分有緊密的關係。

勒貝格積分

勒貝格積分是一種積分概念，可以將積分延伸到更大範圍的函數，同時也拓展函數的定义域。

分布

分布或是广义函数是一種將函数擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定會有广义函数下的導數。

和複變分析的關係

实变函数论是数学分析的一部份，探討像數列及其極限、連續性、函數的导数及积分。實變分析專注在实数，多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究复数對應性質的複分析緊密相關。在複分析中，很自然的會對全純函數定義导数，全純函數有許多有用的性質，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且滿足柯西積分公式。

實變分析中也很自然的去考慮可微、光滑函數或调和函数，這些也常常用到，不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代数基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函数理論的技巧也可以用在實變分析，例如應用留数定理來計算實變函數的定積分。

重要結果

實分析的重要結果包括波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

参考资料

^ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2.
^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.

[Gaughan-1] Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2.

[2] Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.

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