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巴拿赫-阿勞格魯定理

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泛函分析和鄰近數學分支中,巴拿赫-阿勞格魯定理阿勞格魯定理(英語:Banach–Alaoglu theoremAlaoglu's theorem)斷言,任意賦範向量空間連續對偶空間中,單位球弱*拓撲中為[1]常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之閉子集。根據吉洪諾夫定理,該些緊集的積拓撲空間仍為緊,故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子,而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下,定理可以推出,每個量子態皆是純態凸線性組合

歷史

納里奇(Narici)與貝肯斯坦(Beckenstein)書中,稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲唯一(the)最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」[2]1912年,赫利(Helly)證明,閉區間上連續函數的空間,其連續對偶空間的單位球,為弱*可數緊英語countably compact[3]1932年,斯特凡·巴拿赫證明,任何可分賦範向量空間的連續對偶中,閉單位球必為弱*序列緊(他僅考慮了序列緊)。[3] 一般情況的證明,是由列奧尼達·阿勞格魯英語Leonidas Alaoglu於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中,引述Pietsch [2007]指,至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。[2]

布爾巴基-阿勞格魯定理(英語:Bourbaki–Alaoglu theorem)是尼古拉·布爾巴基將原定理推廣[4][5]局部凸空間英語locally convex space對偶拓撲英語dual topology的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理弱*緊定理(英語:weak-* compactness theorem),也常簡稱為阿勞格魯定理(英語:Alaoglu theorem)。[2]

敍述

一般敍述

對於上的向量空間,以表示其代數對偶(所有線性泛函組成的空間)。兩者由雙線性求值映射所聯繫,該映射由

定義。所以,三元組(兩個空間及一個映射)組成對偶系英語dual system,稱為典範對偶系

進一步具有拓撲,即為拓撲向量空間(TVS),則可分辨其上的函數連續與否,並定義其連續對偶為代數對偶中,連續泛函組成的子集。以表示上的弱*拓撲。類似有上的弱*拓撲。

弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲,因為給定映射和一映射,網在弱*拓撲中收斂至,當且僅當對定義域中每點,函數值組成的網收斂到

阿勞格魯定理[3]

為任意拓撲向量空間(無需豪斯多夫局部凸英語locally convex),為其連續對偶,則對於中原點的任何鄰域),其極集英語Polar set

上的弱*拓撲英語weak topology[註 1]中,必為緊集。

此外,亦是相對於典範對偶系的極集,在拓撲空間同樣為緊。

賦範特例

賦範向量空間,則原點鄰域的極集,在對偶空間中為閉,且其範數有上界。特別地,若的開(或閉)單位球,則的極集為連續對偶空間的閉單位球(對偶空間配備平常的對偶範數)。此時,定理化為以下特例:

巴拿赫-阿勞格魯定理

為賦範空間,則連續對偶空間中,算子範數的閉單位球,為弱*拓撲中的緊集。

的連續對偶是無窮維賦範空間時,中的閉單位球,不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是,範數拓撲的閉單位球為緊,當且僅當空間為有限維(見F·里斯定理英語F. Riesz theorem)。此定理顯示出,在同一個向量空間上,考慮不同的拓撲,到㡳有何用。

但注意,巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊,因為僅知閉單位球在強拓撲英語strong topology中為原點的鄰域,在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中,單位球的內部可能為空,除非空間為有限維。實際上,韋伊證明,局部緊豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

證明

對偶理論證明

的基域為,此處為實數域複數域。證明會用到極集英語polar set對偶系英語dual system連續線性算子的基本性質,可參見該些條目,以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶配備弱*拓撲時,為一個豪斯多夫局部凸英語Locally convex topological vector space拓撲向量空間,記為。空間總是完備英語Complete topological vector space,但連續對偶則不一定,此即證明需牽涉的原因。具體而言,本證明用到的性質是:完備豪斯多夫空間的子集為緊,當且僅當其為閉,且完全有界英語Totally bounded space。注意繼承的子空間拓撲,等於弱*拓撲。為驗證此事,只需檢查對每個中的在其中一個拓撲中收斂到,當且僅當在另一個拓撲中亦然(因為兩個拓撲結構相等,當且僅當其具有的收斂網完全一樣)。

三元組也是對偶對英語dual system(有雙線性映射),但與不同,前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時,會註明是對於何種對偶而言。

原點的鄰域,又設:

  • 相對的極集;
  • 相對二重極集英語Polar set
  • 相對的極集。

極集的基本性質有

下證巴拿赫-阿勞格魯定理,分若干步:

  1. 先證在拓撲中為的閉子集:設,又假設中的網,在中收斂到。欲證,即對任意皆成立。因為在純量域中,,而每個值皆屬於(的)閉子集,故網的極限亦必在該子集中。於是
  2. 其次,欲證,以推出既是的閉子集,亦是的閉子集:有包含關係,因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之,欲證,設滿足,換言之線性泛函在鄰域上有界,而泛函有界等價於連續,故,從而,即所求證。用第1步,結合交集的子空間拓撲中為閉,推得為閉。
  3. 欲證拓撲而言是完全有界英語Totally bounded space子集:由二重極集定理英語bipolar theorem,又因為鄰域中的吸收集亦同。可以證明,此結論推出而言的有界子集英語Bounded set (topological vector space)。由於分辨英語dual system各點,的子集在意義下有界,當且僅當在同樣意義下完全有界英語Totally bounded space。所以,尤其有意義下完全有界。
  4. 欲證亦為拓撲下的完全有界子集:已知上,拓撲等於繼承的子空間拓撲,結合第3步與「完全有界」的定義,即推出拓撲下的完全有界子集。
  5. 最後,欲證拓撲下的緊子集:因為完備拓撲向量空間英語Complete topological vector space,又為其閉(第2步)而完全有界(第4步)的子集,所以為緊。定理證畢

較初等的證明

以下證明,僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面,需要熟悉使用拓撲空間中的積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯(為方便起見,證明中也會給出部分細節)。同時也要瞭解,線性泛函為連續,當且僅當其在原點的某個鄰域上有界(見次線性泛函英語sublinear functional)。

設向量空間的基域為,為實數系複數系兩者之一。對任意實數,以

表示以原點為球心,半徑為的閉球。在中,此為緊的閉集

極集的等價表示

由於中原點的鄰域,可知亦是吸收集,即對每個,皆有正實數使。以

表示相對典範對偶系的極集。將證明,此極集,與定理提到,相對的極集,兩者相等。

成立,是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之,欲證,設滿足,即線性泛函在鄰域有界。所以連續線性算子(換言之),從而有,即所求證。

至此,已證明[註 2],餘下的證明中,需理解笛卡兒積與所有的映射構成的空間等同。仍需證明以下兩個命題:

  1. 的閉子集。
    • 此處配備的是逐點收斂拓撲,等同於積拓撲
    • 其中表示以原點為球心,為半徑的閉球。本證明開始時,對每個, 已定義為使的任意一個實數。特別地,對於,可以選

以上命題推出,的閉子集,而由吉洪諾夫定理,該積空間為緊[註 3](因為每個閉球皆為緊)。因為緊空間的閉子集仍為緊,所以有為緊集,從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

極集為閉

以下證明前述命題1。代數對偶總是積空間 的閉子集[註 4]。要證明中為閉,祇需證明集合

的閉子集,因為若有此結論,則中兩閉集之交,故亦為閉集。

,又設中的網,在中收斂到。需要證明。換言之,要證對每個(或等價寫成)。由於在純量域中,,且每項皆屬於中的閉子集,此網的極限亦必屬於該閉集,即。證畢命題1。

上述證明可以推廣,以論證以下命題:

為任意集合,為拓撲空間閉子集,則在的逐點收斂拓撲中,為閉子集。

命題1為其特殊情況,取便得。

極集包含於緊空間之積

以下證明前述命題2。對任意,以表示到第個坐標的投影英語Projection (set theory)。欲證。換言之,欲對每個,證明

於是選定,設;要證。由的定義,,故。因為,線性泛函滿足,所以由,可知

所以,即,證畢命題2。

序列版本

巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況,對可分空間使用,並將「」換成「序列緊」。此時定理斷言:

可分賦範向量空間的對偶中,閉單位球在弱*拓撲下是序列緊

可度量

實際上,可分空間的對偶的閉單位球上,弱*拓撲可度量,故緊與序列緊等價。

明確而言,設為可分賦範向量空間,而為連續對偶中的閉單位球。根據可分的定義,有某個可數稠密子集,列舉為。則下式定義一個度量:對於

其中表示的對偶匹配,即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下,為序列緊之事,用類似阿爾澤拉-阿斯科利定理的對角線證法,即可證明。

由於證明本質為構造性(而非如一般情況,用到非構造性的選擇公理),在偏微分方程學中,有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理,構造偏微分方程或變分問題的解。舉例,若有某個可分賦範空間,其對偶上有泛函,欲求最小值,則常見策略是先構造序列,使的泛函值趨向下確界,然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理,取出子序列,在弱*拓撲下收斂到極限,並確定使取最小值。最後一步通常要求在弱*拓撲下為(序列)下半連續

考慮另一個例子,設為實軸上,在無窮遠處消失的連續函數組成的空間,則由里斯-馬可夫表示定理為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理英語Helly selection theorem

證明

下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個,設

以及

因為是複平面的緊子集,積拓撲中亦為緊(根據吉洪諾夫定理)。

中的閉單位球,可以自然地看成的子空間:考慮映射

其為單射,且對於的弱*拓撲和的積拓撲而言,是連續映射。在像集上,映射的逆也連續。

欲完成定理的證明,只需證明映射的像為閉集。給定網中的網

等式定義的泛函,也在中。定理證畢。

推論

賦範空間

假設賦範空間,則其連續對偶空間具有對偶範數

  • 中的閉單位球為弱*緊[3]。相比之下,若為無窮維,則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊(F·里斯定理英語F. Riesz theorem)。
  • 巴拿赫空間自反,當且僅當其閉單位球在弱拓撲下為緊。[3]
  • 自反巴拿赫空間,則中每個有界序列,都有弱收斂子列。(此為對某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言,是應用埃伯萊恩-什穆良定理英語Eberlein–Šmulian theorem。)舉例,設Lp空間,其中。設中函數組成的有界序列。則存在子列,且有使得對於中的任意函數成立,其中。對於,沒有相應的結論,因為不自反。

希爾伯特空間

  • 任意希爾伯特空間中,閉有界集必然弱相對緊英語Relatively compact subspace,即其在弱拓撲的閉包為弱緊,故每個有界網必有弱收斂子網(希爾伯特空間皆自反)。
  • 哈恩-巴拿赫定理,範數拓撲中的閉凸集,在弱拓撲中也是閉集,故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中,凸有界集的範數閉包必為弱緊。
  • 為希爾伯特空間,為其上有界算子的空間,則可以配備以下兩種不同的拓撲:一則超弱拓撲英語ultraweak topology,即作為跡類算子空間的對偶所具備的弱*拓撲;二則弱算子拓撲英語weak operator topology,是使形如的映射皆連續的最弱的拓撲,此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下,中的閉有界子集,關於弱算子拓撲為相對緊。所以,算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是,配備弱算子拓撲或超弱拓撲時,滿足海涅-博雷爾性質

與選擇公理的關係

通常,會用到吉洪諾夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理,所以要依賴於ZFC公理系統,尤其是選擇公理。主流泛函分析中,許多結果皆依賴選擇公理。然而,本定理在可分空間的情況(見§ 序列版本)並不依賴選擇公理,該情況下有構造性證明。對於不可分的情況,超濾子引理英語ultrafilter Lemma比選擇公理嚴格弱,但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之,巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理,所以兩者等價。

參見

  1. ^ 更明確地說,子集稱為「弱*拓撲中的緊集」,意思是若配備弱*拓撲,而子集從空間繼承子空間拓撲,則緊空間。將「緊集」換成其他性質(如「完全有界英語totally bounded」)亦同。
  2. ^ 表示原有的拓撲,則等式說明,的極集,僅取決於,其餘拓撲結構可忽略不理。更明確說,假設上另一個向量空間拓撲,使得為拓撲向量空間,且集合仍為原點的鄰域。記的連續對偶為,並記相對的極集為
    (此定義下,只是舊的。)則,因為兩者分別等於。換言之,極集的定義條件中,「連續對偶空間子集」一項可以無視,因為對所得的線性泛函集合毫無影響。然而,若上另一個向量空間拓撲 is a TVS topology on ,令不是原點的鄰域,則相對的極集,不保證等於,所以不能如此無視拓撲
  3. ^ 由於每個也是豪斯多夫空間,只用到吉洪諾夫定理的緊豪斯多夫情況,便足以說明為緊。該特殊情況等價於超濾子引理英語ultrafilter lemma,而比選擇公理嚴格弱。
  4. ^ 「線性泛函」的要求,可以寫成許多條等式如合取。每個要求皆是閉條件,即其對應的子集為閉集。而閉集的任意交仍為閉,所以線性泛函組成的集合為閉集。

參考資料

  1. ^ Rudin 1991, Theorem 3.15.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Narici & Beckenstein 2011,第235-240頁.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Narici & Beckenstein 2011,第225-273頁.
  4. ^ Köthe 1969, Theorem (4) in §20.9.
  5. ^ Meise & Vogt 1997, Theorem 23.5.