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弱*拓撲

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弱*拓撲賦範向量空間對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性,在於它使得單位球緊集巴拿赫-阿勞格魯定理);相反地在線性算子範數誘發的拓撲中,單位球未必緊緻。(結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。)

定義

在域)上的賦範空間中,每一個元素,都可以定義對偶空間上的一個線性算子。弱*拓撲是在上最弱的拓撲,使得所有這樣的都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義,在上給出它的鄰域基:對任何,集合

其中,是的弱*開的鄰域基。

收斂

弱*拓撲的收斂條件很簡單:序列在弱*拓撲中收斂,如果對任何都有,即逐點收斂。弱*收斂記作

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果,其中的範數,則必然逐點收斂於,因而有;但是,不一定有,甚至可能

半範數

對偶空間加上弱*拓撲是一個局部凸空間,因此可以由給予一個半範數的系統定義弱*拓撲。對

,

構成這樣一個半範數的系統。

參考

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968