加權射影空間

代數幾何中，加權射影空間$\mathbf {P} (a_{0},\ \ldots ,\ a_{n})$是與分次環$k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}]$相關聯的射影簇${\rm {Proj}}(k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}])$，其中簇x_k的度為a_k。

性質

• 有正整數d，則$\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a-n)$與$\mathbf {P} (da_{0},\ da_{1},\ \ldots ,\ da_{n})$同構。這是所謂射影結構的性質；從幾何學角度看，它對應於d元委羅內塞嵌入。因此，在不失一般性的前提下，可以假設$a_{i}$的度數沒有公因子。

• 假設$a-0,\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}$沒有公因子，且d是所有$i\neq j$的$a_{i}$的公因子，則$\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})$與$\mathbf {P} (a_{0}/d,\ldots ,\ a_{j-1}/d,\ a_{j},\ a_{j+1}/d,\ldots ,\ a_{n}/d)$同構（其中d與$a_{j}$互質；否則同構不成立）。因此可以進一步假設，任何由n個變量組成的集合$a_{i}$都沒有公因子。稱這樣的加權射影空間「結構良好」（well-formed）。
• 加權射影空間位移的奇異點是循環商奇異點。
• 加權射影空間是Q法諾簇，也是環面簇。
• 加權射影空間$\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})$與射影空間對對角作用的$a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}$階的單位之根的積群的商同構。

參考文獻

• Dolgachev, Igor, Weighted projective varieties, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math. 956, Berlin: Springer: 34–71, 1982, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , ISBN 978-3-540-11946-3, MR 0704986, doi:10.1007/BFb0101508 
• Hosgood, Timothy, An introduction to varieties in weighted projective space, 2016, Bibcode:2016arXiv160402441H, arXiv:1604.02441  
• Reid, Miles, Graded rings and varieties in weighted projective space (PDF), 2002 [2023-11-27], （原始內容存檔 (PDF)於2023-06-02）