中間值定理

  提示：此條目頁的主題不是中值定理。

在數學分析中，中間值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

假設 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 為一連續函數。若一實數 $u$ 滿足 $(f(a)-u)(f(b)-u)\leq 0$，則存在一實數 $c\in [a,b]$ 使得 $f(c)=u$。

中間值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理

中間值定理圖解

定理敘述

中間值定理 —  設 $a<b$，且 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ 為一連續函數。則下列敘述成立：

• 對任意滿足 $(f(a)-u)(f(b)-u)<0$ 的實數 $u$，皆存在一實數 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。
• $f$ 的值域為一閉區間。

證明

先證明第一種情況 $f(a)<u<f(b)$；第二種情況也類似。${\displaystyle }$

設 $S$ 為所有滿足 $f(x)\leq u$ 的 $x\in [a,b]$ 所構成的集合。由 $a\in S$ 可知 $S$ 非空。由於 $S$ 具有上界 $b$，故由實數的完備性知 $S$ 有最小上界 $c=\sup S$。我們以反證法證明 $f(c)=u$。

• 首先假設 $f(c)>u$。由於 $f$ 連續，我們能找到正實數 $\delta$ 使得 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ 對所有 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 均成立。由於 $c=\sup S$，故存在滿足 $c-\delta <y\leq c$ 的 $y\in S$；此時 ${\mathopen {|}}y-c{\mathclose {|}}<\delta$，故 $f(y)-f(c)>-(f(c)-u)$，即 $f(y)>u$，與 $y\in S$ 矛盾。故原假設 $f(c)>u$ 不成立。
• 接着假設 $f(c)<u$。由於 $f$ 連續，我們能找到正實數 $\delta$ 使得 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 對所有 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 均成立。設 $y=c+\delta /2$；此時 $f(y)-f(c)<u-f(c)$，即 $f(y)<u$，故 $y\in S$。這會導致 $c$ 不是 $S$ 的上界，矛盾。故原假設 $f(c)<u$ 不成立。

因此$f(c)=u$。

與實數完備性的關係

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數$f(x)=x^{2}-2$滿足$f(0)=-2,f(2)=2$，但不存在滿足$f(x)=0$的有理數$x$。

零點定理（波爾查諾定理）

零點定理是中間值定理的一種特殊情況－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

設函數$f(x)$在閉區間$[a,b]$上連續，且$f(a)\cdot f(b)<0$，則必存在$\xi \in (a,b)$使$f(\xi )=0$成立。由於零點定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯納德·波爾查諾於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即中間值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。

現實世界中的意義

中間值定理意味着在地球的任何大圓上，溫度、壓強、海拔、二氧化碳的濃度（或其他任何連續變化的變量），總存在兩個對蹠點，在這兩個點上該變量的值是相同的。

證明：取f為圓上的任何連續函數。通過圓的中心作一條直線，與圓相交於點A和點B。設d為f(A) − f(B)的差。如果把這條直線旋轉180度，將得到值−d。根據中間值定理，一定存在某個旋轉角，使得d = 0，在這個角度上便有f(A) = f(B)。

這是一個更加一般的結果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。

參見

• 中值定理
• 極值定理
• 達布定理

外部連結

• cut-the-knot上的中間值定理-波爾查諾定理（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 埃里克·韋斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.